Какой график возможен для функции y = 3/x + 2? Что можно сказать о её области определения, множестве значений

Сокол

36

Для начала, давайте разберемся с областью определения функции \(y = \frac{3}{x} + 2\). Областью определения является множество всех значений \(x\), при которых функция имеет смысл. В данной функции, знаменатель не может быть равен нулю, так как деление на ноль не определено. Таким образом, чтобы найти область определения, нужно исключить \(x = 0\) из множества допустимых значений \(x\). Получаем, что областью определения функции является \((- \infty, 0) \cup (0, + \infty)\).

Теперь рассмотрим множество значений функции \(y = \frac{3}{x} + 2\). Множеством значений называется множество всех возможных значений функции. Заметим, что \(y\) зависит от значения \(x\) и что \(y\) может принимать любые значения в допустимом диапазоне значений \(x\), за исключением \(x = 0\). Следовательно, множеством значений функции является \((-\infty, -\infty) \cup (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)\).

Последним шагом является определение промежутков монотонности функции. Функция \(y = \frac{3}{x} + 2\) является рациональной функцией, и чтобы определить ее промежутки монотонности, нам нужно найти значения \(x\), при которых функция возрастает или убывает.

Для этого возьмем производную функции и приравняем ее к нулю:
\[
\frac{d}{dx} \left( \frac{3}{x} + 2 \right) = 0
\]

Чтобы облегчить себе вычисления, мы можем переписать функцию как \(y = 3x^{-1} + 2\). Производная такой функции будет равна:
\[
\frac{d}{dx} \left( 3x^{-1} + 2 \right) = -3x^{-2}
\]

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:
\[
-3x^{-2} = 0
\]

Заметим, что производная равна нулю только при \(x = 0\). Теперь мы знаем, что на интервалах до \(x = 0\) и после \(x = 0\) функция может либо возрастать, либо убывать.

Для анализа знака производной и определения промежутков монотонности, мы можем выбрать произвольную точку из каждого интервала и проверить знак производной в этой точке. Например, возьмем \(x = 1\) и \(x = -1\).

При \(x = 1\) производная будет:
\[
-3 \cdot (1)^{-2} = -3
\]

Получаем отрицательный результат, что говорит о том, что функция убывает в интервале \((-\infty, 0)\).

При \(x = -1\) производная будет:
\[
-3 \cdot (-1)^{-2} = -3
\]

И снова получаем отрицательный результат, что говорит о том, что функция убывает в интервале \((0, +\infty)\).

Таким образом, функция \(y = \frac{3}{x} + 2\) убывает на всем интервале \((-\infty, +\infty)\).

Чтобы построить график функции, мы можем найти несколько точек, принадлежащих графику, используя значения \(x\) и \(y\). Начнем с \(x = 1\) и \(x = -1\):

При \(x = 1\):
\[
y = \frac{3}{1} + 2 = 5
\]

Получаем точку \((1, 5)\).

При \(x = -1\):
\[
y = \frac{3}{-1} + 2 = -1
\]

Получаем точку \((-1, -1)\).

Мы также можем выбрать другие значения \(x\) и найти соответствующие значения \(y\), чтобы получить еще несколько точек на графике. Например, при \(x = 2\) получаем \(y = \frac{3}{2} + 2 = \frac{7}{2}\), что дает точку \((2, \frac{7}{2})\).

Построив эти точки на координатной плоскости, мы можем соединить их гладкой кривой, которая представляет график функции \(y = \frac{3}{x} + 2\). График будет иметь форму гиперболы, которая проходит через точки \((1, 5)\), \((-1, -1)\) и \((2, \frac{7}{2})\).

Таким образом, график функции \(y = \frac{3}{x} + 2\) будет выглядеть следующим образом:

\[
\begin{array}{ccc}
x & y \\
\hline
-3 & -3/2 \\
-2 & -4 \\
-1 & -1 \\
1 & 5 \\
2 & 7/2 \\
3 & 7/3 \\
\end{array}
\]