Какой объем у конуса, если боковую поверхность конуса разрезать вдоль образующей и развернуть на плоскости, чтобы

Полосатик

59

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для площади кругового сектора:

\[S = \frac{{\theta \cdot R^2}}{{2}}\]

где \(S\) - площадь сектора, \(\theta\) - центральный угол в радианах, \(R\) - радиус кругового сектора.

Мы знаем, что центральный угол составляет 120 градусов, а радиус равен 4 см. Чтобы использовать формулу, нужно перевести градусы в радианы. Формула для такой конвертации следующая:

\[ \text{{радианы}} = \frac{{\pi}}{{180}} \cdot \text{{градусы}} \]

Подставим предоставленные значения в формулу:

\[\theta = \frac{{\pi}}{{180}} \cdot 120 = \frac{{2\pi}}{{3}}\]
\[R = 4 \, \text{{см}}\]

Теперь можем найти площадь сектора:

\[S = \frac{{\frac{{2\pi}}{{3}} \cdot 4^2}}{{2}} = \frac{{8\pi}}{{3}} \, \text{{см}}^2\]

Так как при разрезании боковой поверхности конуса и развертывании получается круговой сектор, площадь этого сектора равна площади боковой поверхности конуса. Известно, что площадь боковой поверхности конуса определяется формулой:

\[S = \pi \cdot R \cdot L\]

где \(S\) - площадь боковой поверхности конуса, \(R\) - радиус основания конуса, \(L\) - образующая конуса.

Мы знаем площадь сектора, \(R\) равно 4 см. Подставим все известные значения в формулу и найдем образующую конуса:

\[\frac{{8\pi}}{{3}} = \pi \cdot 4 \cdot L\]

Распространяя меру угла и деля на \(\pi\), получаем:

\[\frac{{8}}{{3}} = 4L\]

Решая это уравнение, найдем значение образующей конуса:

\[L = \frac{{8}}{{3 \cdot 4}} = \frac{{2}}{{3}} \, \text{{см}}\]

Теперь мы знаем образующую конуса, \(L\), и можем использовать формулу для нахождения его объема:

\[V = \frac{{\pi \cdot R^2 \cdot L}}{3}\]

Подставляем известные значения:

\[V = \frac{{\pi \cdot 4^2 \cdot \frac{2}{3}}}{3} = \frac{{32\pi}}{9} \, \text{{см}}^3\]

Ответ: объем конуса, если боковую поверхность разрезать и развернуть на плоскости, составляет \(\frac{{32\pi}}{9}\) кубических сантиметра.