Какой общий вид первообразных имеет функция f(x)=2-x^3+1/x^3?

Tainstvennyy_Mag

19

Чтобы найти общий вид первообразной для функции \(f(x) = 2 - x^3 + \frac{1}{{x^3}}\), мы можем использовать правила интегрирования и алгоритмы решения интегралов. Давайте проанализируем каждый член функции по отдельности и найдём соответствующие интегралы для них.

1. Интеграл от константы: Поскольку константа не зависит от переменной \(x\), её интеграл будет просто равен произведению этой константы на \(x\). Так что интеграл от \(2\) будет \(2x\).

2. Интеграл от \(x^3\): Мы знаем, что \(\int x^n \, dx = \frac{{x^{n+1}}}{{n+1}} + C\), где \(C\) - произвольная константа. В данном случае, для \(x^3\) интеграл будет \(\int x^3 \, dx = \frac{{x^4}}{4} + C_1\), где \(C_1\) - новая произвольная константа.

3. Интеграл от \(\frac{1}{{x^3}}\): Используя правило \(\int \frac{1}{x^n} \, dx = \frac{{-1}}{{(n-1)x^{n-1}}} + C\), мы можем найти интеграл от \(\frac{1}{{x^3}}\). В данном случае, для \(\frac{1}{{x^3}}\) интеграл будет \(\int \frac{1}{{x^3}} \, dx = \frac{{-1}}{{2x^2}} + C_2\), где \(C_2\) - ещё одна произвольная константа.

После нахождения интегралов для каждого члена функции, общий вид первообразной будет представлен суммой полученных интегралов:

\[
\int f(x) \, dx = 2x + \frac{{x^4}}{4} - \frac{1}{{2x^2}} + C
\]

где \(C\) - итоговая произвольная константа.

Данный общий вид первообразной функции \(f(x)\) должен помочь вам дальше решать задачи, связанные с интегрированием этой функции.