Какую первообразную нужно найти для следующих функций? а) f(x) = квадратный корень из 7 б) f(x) = x в степени

Sladkaya_Siren

12

Конечно! Давайте найдем первообразную для каждой из функций:

а) f(x) = \(\sqrt{7}\)
Для нахождения первообразной этой функции, мы должны найти функцию, производная которой равна \(\sqrt{7}\). Так как функция имеет вид корня, мы можем воспользоваться свойством правила дифференцирования корневой функции.

Мы знаем, что производная функции \(\sqrt{x}\) равна \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\). Поэтому, если у нас есть функция \(\sqrt{7}\), мы можем записать ее как \(\sqrt{7x^0}\). Применяя правило дифференцирования корня, мы получаем:

\(\frac{d}{dx}(\sqrt{7x^0}) = \frac{1}{2\sqrt{7x^0}}\)

Таким образом, первообразной для функции \(f(x) = \sqrt{7}\) является \(\frac{1}{2\sqrt{7x^0}} + C\), где \(C\) - произвольная постоянная.

б) f(x) = \(x^{11}\)
Для нахождения первообразной этой функции, мы должны найти функцию, производная которой равна \(x^{11}\). Так как эта функция является мономом, мы можем использовать обратное правило степени для нахождения первообразной.

Обратное правило степени гласит: если функция имеет вид \(x^n\), где \(n \neq -1\), то первообразной этой функции является \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\).

Применяя это правило к нашей функции \(f(x) = x^{11}\), мы получаем:

\(\int x^{11} dx = \frac{x^{11+1}}{11+1} = \frac{x^{12}}{12} + C\), где \(C\) - произвольная постоянная.

в) f(x) = \(x^8 + 3x^7 - 5x + 2\)
Для нахождения первообразной для этой функции, мы просто интегрируем каждый член функции по отдельности. Вспомним обратное правило степени и правила интегрирования линейных функций.

Интегрируя каждый член функции по отдельности, мы получаем:

\(\int (x^8 + 3x^7 - 5x + 2) dx = \frac{x^{8+1}}{8+1} + \frac{3x^{7+1}}{7+1} - \frac{5x^{1+1}}{1+1} + 2x + C\)

Упрощая выражение, получаем:

\(\int (x^8 + 3x^7 - 5x + 2) dx = \frac{x^9}{9} + \frac{3x^8}{8} - \frac{5x^2}{2} + 2x + C\), где \(C\) - произвольная постоянная.

г) f(x) = \((4x - 1)^2\)
Для нахождения первообразной для этой функции, мы можем использовать свойство правила дифференцирования для квадратов.

Мы знаем, что производная функции \((x^n)^2\) равна \(2x^{n+1}\). Применяя это правило к нашей функции \(f(x) = (4x - 1)^2\), мы получаем:

\(\frac{d}{dx}((4x - 1)^2) = 2(4x-1)^2\)

Таким образом, первообразной для функции \(f(x) = (4x - 1)^2\) является \(\frac{2}{3}(4x-1)^3 + C\), где \(C\) - произвольная постоянная.

Я надеюсь, что эти решения помогут вам понять, как найти первообразные этих функций. Если у вас есть еще какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать!