На каких интервалах функция убывает, если y = 1.5cos(2x + 2π/3)?

Moroznaya_Roza_2574

63

Для определения интервалов, на которых функция убывает, нам нужно проанализировать поведение функции \[y = 1.5\cos(2x + \frac{2\pi}{3})\].

Для начала, давайте вспомним некоторые основные свойства функции косинуса. Функция косинуса представляет собой периодическую функцию, колеблющуюся между значениями -1 и 1. Известно, что график функции косинуса достигает своего максимального значения в точках, где аргумент косинуса находится на значении \(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\), где k - целое число. А также функция косинуса достигает минимального значения в точках, где аргумент косинуса находится на значении \(-\frac{\pi}{2} + 2k\pi\), где k - целое число.

Теперь вернемся к исходной функции. Мы видим, что в аргументе косинуса у нас есть выражение \(2x + \frac{2\pi}{3}\). В этом выражении у нас стоит коэффициент 2 перед x, что означает, что период функции косинуса будет сокращен в два раза. Таким образом, единичный период в нашей функции будет равен \(\pi\), а график функции будет испытывать полное колебание каждый раз при значении аргумента \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\), где k - целое число.

Из этого следует, что функция \[y = 1.5\cos(2x + \frac{2\pi}{3})\] будет достигать своего максимального значения, равного 1.5, в точках, где \(2x + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi\). Мы можем решить это уравнение относительно x:

\[2x + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi\]

Вычтем \(\frac{2\pi}{3}\) из обеих частей уравнения:

\[2x = \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3} + k\pi\]

Упростим выражение:

\[2x = \frac{3\pi - 4\pi}{6} + k\pi = \frac{-\pi}{6} + k\pi\]

Разделим обе части на 2:

\[x = \frac{-\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}\]

Таким образом, функция достигает своего максимального значения на интервалах, где \(x = \frac{-\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}\), где k - целое число.

Аналогично, чтобы определить интервалы, на которых функция убывает, мы можем рассмотреть точки, где \(2x + \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} + k\pi\). Решим это уравнение как предыдущее:

\[2x = -\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3} + k\pi\]

Упростим выражение:

\[2x = \frac{-3\pi - 4\pi}{6} + k\pi = \frac{-7\pi}{6} + k\pi\]

Разделим обе части на 2:

\[x = \frac{-7\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}\]

Таким образом, функция убывает на интервалах, где \(x = \frac{-7\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}\), где k - целое число.

Итак, ответ на вопрос: функция \(y = 1.5\cos(2x + \frac{2\pi}{3})\) убывает на интервалах, где \(x = \frac{-7\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}\), где k - целое число.