Найти максимальное и минимальное значение функции y=x^3+9x^2+15 на интервале [-1,5

Константин

55

Конечно! Давайте найдем максимальное и минимальное значение функции \(y=x^3+9x^2+15\) на интервале \([-1,5]\).

Для начала, найдем значения функции при \(x=-1\) и \(x=5\):

Подставим \(x=-1\) в функцию:

\[y=(-1)^3+9(-1)^2+15= -1+9+15=23\]

Подставим \(x=5\) в функцию:

\[y=(5)^3+9(5)^2+15=125+225+15=365\]

Таким образом, мы получили, что наше искомое максимальное значение находится при \(x=5\), а значение функции равно \(y=365\).

Чтобы найти минимальное значение функции, найдем точку, где оно достигается. Для этого вычислим производную функции и найдем значения \(x\), где производная равна нулю. Затем, сравним значения функции на найденных значениях и выберем наименьшее.

Производная функции \(y=x^3+9x^2+15\) равна:

\[y" = 3x^2 + 18x\]

Чтобы найти значения \(x\), при которых производная равна нулю, приравняем \(y"\) к нулю и решим получившееся квадратное уравнение:

\[3x^2 + 18x = 0\]

Упростим это уравнение, делая выноску общего множителя:

\[x(3x + 18) = 0\]

Теперь мы получили два значения \(x\), при которых производная равна нулю:

\[x_1 = 0, \quad x_2 = -6\]

Подставим эти значения обратно в нашу исходную функцию:

\[y_1 = (0)^3 + 9(0)^2 + 15 = 15\]
\[y_2 = (-6)^3 + 9(-6)^2 + 15 = -216 + 324 + 15 = 123\]

Таким образом, мы получили, что наше искомое минимальное значение достигается при \(x=0\), а значение функции равно \(y=15\).

Итак, максимальное значение функции равно \(y=365\) при \(x=5\), а минимальное значение равно \(y=15\) при \(x=0\) на интервале \([-1,5]\).