Найдите площадь поверхности правильной треугольной призмы с периметром основания 24 см и боковым ребром, равным

Чайный_Дракон_8491

44

Для решения этой задачи нам необходимо знать формулу для вычисления площади поверхности призмы. Площадь поверхности правильной треугольной призмы можно найти по формуле:

\[ Площадь\ поверхности\ призмы = 2 \cdot Площадь\ основания + Площадь\ боковой\ поверхности \]

Где площадь основания равна площади треугольника, а площадь боковой поверхности равна периметру основания, умноженному на боковое ребро, разделённому на 2.

Для начала, давайте найдём площадь основания треугольной призмы. Поскольку в задаче говорится о правильной треугольной призме, мы знаем, что основание будет равносторонним треугольником.

Давайте обозначим сторону треугольника как \( a \). Тогда, периметр основания будет равен:

\[ Периметр = 3a \]

В задаче говорится, что периметр основания равен 24 см. Подставляя это значение в уравнение, мы получим:

\[ 3a = 24 \]

Делая простое математическое вычисление, найдём значение стороны основания:

\[ a = \frac{24}{3} = 8 \]

Теперь мы можем вычислить площадь основания треугольной призмы с помощью формулы для площади треугольника. Поскольку в задаче говорится, что основание является равносторонним, мы можем использовать формулу для площади равностороннего треугольника:

\[ Площадь\ основания = \frac{{a^2 \cdot \sqrt{3}}}{4} \]

Подставляя значения стороны \( a = 8 \) в формулу, получаем:

\[ Площадь\ основания = \frac{{8^2 \cdot \sqrt{3}}}{4} = \frac{{64 \cdot \sqrt{3}}}{4} = 16\sqrt{3} \]

Теперь давайте найдём площадь боковой поверхности. Мы знаем, что площадь боковой поверхности равна периметру основания, умноженному на боковое ребро, разделённому на 2. Таким образом, площадь боковой поверхности можно выразить следующей формулой:

\[ Площадь\ боковой\ поверхности = Периметр\ основания \cdot \frac{{боковое\ ребро}}{2} \]

Мы уже знаем, что периметр основания равен 24 см. Теперь нам осталось найти боковое ребро. В задаче говорится, что боковое ребро равно \( b \). Используя данную информацию, мы можем записать:

\[ 24 \cdot \frac{b}{2} \]

Теперь, соединяя все части вместе, мы можем записать окончательную формулу для площади поверхности треугольной призмы:

\[ Площадь\ поверхности\ призмы = 2 \cdot Площадь\ основания + Площадь\ боковой\ поверхности \]

Подставляя значения, полученные выше, получаем:

\[ Площадь\ поверхности\ призмы = 2 \cdot 16\sqrt{3} + 24 \cdot \frac{b}{2} \]

Упрощая данное выражение, получаем:

\[ Площадь\ поверхности\ призмы = 32\sqrt{3} + 12b \]

Таким образом, мы получили формулу для вычисления площади поверхности данной треугольной призмы в зависимости от значения бокового ребра \( b \).

Надеюсь, этот ответ был для вас полезным и понятным! Если у вас возникнут ещё вопросы, не стесняйтесь задавать.