Найдите рациональные корни данного многочлена с целыми коэффициентами: 2x^1000 +5x+10=0. Если существуют рациональные
Найдите рациональные корни данного многочлена с целыми коэффициентами: 2x^1000 +5x+10=0. Если существуют рациональные корни, то разложите его на произведение двух многочленов с рациональными коэффициентами степеней выше 0. Пожалуйста, обоснуйте ваш ответ.
Lastochka_1454 21
Чтобы найти рациональные корни данного многочлена, нам придется воспользоваться теоремой Рациональных корней. Согласно этой теореме, если существует рациональный корень многочлена с целыми коэффициентами, он должен принадлежать множеству всех делителей свободного члена, 10 в данном случае, поделенного на все делители старшего коэффициента, 2 в данном случае.Теперь посмотрим на делители свободного члена. В данном случае, делителями 10 являются -10, -5, -2, -1, 1, 2, 5 и 10. Далее, посмотрим на делители старшего коэффициента. У числа 2 есть только два делителя - 1 и 2.
Теперь мы можем приступить к проверке этих возможных рациональных корней при помощи метода подстановки. Заменяя x на каждый из этих значений по очереди, мы можем вычислить значение многочлена и убедиться, что он равен нулю.
Подставим -10 вместо x:
2(-10)^{1000} + 5(-10) + 10 = 2 \cdot 10^{1000} - 50 + 10 = гигантское число
Видим, что результат этой подстановки не равен нулю. Проделаем аналогичные вычисления для остальных возможных значений рациональных корней.
К сожалению, мы не смогли найти рациональные корни данного многочлена. Это значит, что в данном случае многочлен не может быть разложен на произведение многочленов с рациональными коэффициентами степеней выше 0.