При каких значениях параметра а система имеет два различных решения?

Sumasshedshiy_Reyndzher

70

Чтобы понять, при каких значениях параметра "а" система имеет два различных решения, нам нужно рассмотреть уравнение системы и проанализировать его свойства. Давайте разберемся пошагово.

Предположим, у нас есть система уравнений:

\[
\begin{align*}
x + ay &= 5 \\
2x - y &= 3
\end{align*}
\]

Мы видим, что у нас две переменные: \(x\) и \(y\). Мы хотим найти значения этих переменных, при которых система имеет два различных решения. Это означает, что существуют конкретные значения \(x\) и \(y\), которые удовлетворяют обоим уравнениям системы одновременно.

Для начала, выразим одну переменную через другую, чтобы упростить систему. Возьмем, например, первое уравнение:

\[
x + ay = 5
\]

Выразим \(x\) через \(y\), вычитая \(ay\) из обеих сторон:

\[
x = 5 - ay
\]

Теперь заменим \(x\) во втором уравнении:

\[
2(5 - ay) - y = 3
\]

Раскроем скобки:

\[
10 - 2ay - y = 3
\]

Сгруппируем переменные:

\[
10 - y - 2ay = 3
\]

Теперь, чтобы иметь два различных решения, рассмотрим случай, когда эта система является несовместной (не имеет решений). Это возможно, когда коэффициенты при переменных \(y\) и \(a\) одновременно равны нулю.

Значит, \(1 - 2a = 0\) и \(1 - a = 0\).

Решим эти уравнения:

\[
1 - 2a = 0 \Rightarrow 2a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{2}
\]

\[
1 - a = 0 \Rightarrow a = 1
\]

Итак, система имеет два различных решения при значениях \(a = \frac{1}{2}\) и \(a = 1\).

При \(a = \frac{1}{2}\) и \(a = 1\) система уравнений будет иметь два различных решения. При других значениях параметра \(a\) система либо будет иметь одно решение, либо не будет иметь решений вовсе.