Найдите сумму всех натуральных чисел, менее или равных 200, у которых остаток при делении на 16 равен 1. ответ

Щука

11

Хорошо, давайте решим задачу.

1. Из условия задачи мы знаем, что искомые натуральные числа представляются в виде \(16k+1\), где \(k\) - любое натуральное число. Такое представление говорит нам о том, что числа, у которых остаток при делении на 16 равен 1, будут следующими: 1, 17, 33, 49, 65, ..., и так далее.

2. Мы должны определить, сколько таких натуральных чисел не превышают 200. Для этого нужно найти наибольшее значение \(k\), при котором \(16k+1\) не превышает 200. Для этого решим неравенство:

\[16k+1 \leq 200.\]

Вычитаем 1 из обеих частей неравенства:

\[16k \leq 199.\]

Затем делим обе части неравенства на 16:

\[k \leq \frac{199}{16}.\]

Получаем \(k \leq 12.4375\). Так как \(k\) должно быть натуральным числом, берем наибольшее натуральное число, меньшее или равное \(12.4375\), то есть 12.

3. Теперь, когда мы знаем количество чисел, которые удовлетворяют условию и не превышают 200, можем записать сумму этих чисел:

\[1 + 17 + 33 + 49 + \ldots + 193.\]

Для удобства вычисления суммы, заметим, что каждый член этой последовательности можно представить в виде \(16n+1\), где \(n\) принимает значения от 0 до 12. Значит, мы собираемся найти сумму арифметической прогрессии.

Для нахождения суммы арифметической прогрессии, воспользуемся формулой:

\[S = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n),\]

где \(S\) - сумма прогрессии, \(n\) - количество членов прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(a_n\) - последний член прогрессии.

В нашем случае, \(n = 13\) (так как от 0 до 12 включительно - 13 чисел) и \(a_1 = 1\), \(a_n = 193\) (последнее число в прогрессии).

Вычислим сумму:

\[S = \frac{13}{2} \cdot (1 + 193) = \frac{13}{2} \cdot 194 = 1262.\]

Итак, сумма всех натуральных чисел, меньше или равных 200, у которых остаток при делении на 16 равен 1, равна 1262.