Найти угол между векторами a=3p+2q и b=p+5q, где p и q - взаимно перпендикулярные единичные векторы. Кто может

Zvonkiy_Spasatel

9

Я могу выполнить эту задачу. Давайте начнем с определения угла между двумя векторами.

Угол между двумя векторами определяется как косинус фи, где фи - угол между векторами a и b.

\[cos(\phi) = \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|}\]

где a и b - векторы, \(\cdot\) означает скалярное произведение, а |a| и |b| обозначают длины векторов a и b.

Теперь давайте найдем скалярное произведение векторов a и b:

\[a \cdot b = (3p + 2q) \cdot (p + 5q)\]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[a \cdot b = 3p^2 + 15pq + 2pq + 10q^2\]

Так как p и q взаимно перпендикулярные единичные векторы, то \(p^2 = q^2 = 1\) и \(pq = 0\).

Подставим эти значения в выражение для скалярного произведения:

\[a \cdot b = 3 + 10 = 13\]

Теперь найдем длины векторов a и b. Длина вектора определяется как \(\sqrt{a \cdot a}\). В нашем случае:

\[|a| = \sqrt{(3p + 2q) \cdot (3p + 2q)}\]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[|a| = \sqrt{9p^2 + 12pq + 4q^2}\]

Подставим значения \(p^2 = q^2 = 1\) и \(pq = 0\):

\[|a| = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\]

Аналогично, найдем длину вектора b:

\[|b| = \sqrt{(p + 5q) \cdot (p + 5q)} = \sqrt{p^2 + 10pq + 25q^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}\]

Теперь мы можем найти косинус угла фи:

\[cos(\phi) = \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|} = \frac{13}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{26}}\]

Упростим это выражение:

\[cos(\phi) = \frac{13}{\sqrt{338}}\]

Итак, угол фи между векторами a и b найдем с помощью обратного косинуса:

\[\phi = \arccos\left(\frac{13}{\sqrt{338}}\right)\]

Данное выражение можно решить с помощью калькулятора или математического программного обеспечения для получения численного значения угла фи.

Таким образом, задача состоит в нахождении угла между векторами a=3p+2q и b=p+5q, где p и q - взаимно перпендикулярные единичные векторы. Угол фи между ними можно найти с помощью формулы \(cos(\phi) = \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|}\), где \(\cdot\) - скалярное произведение, \(|a|\) и \(|b|\) - длины векторов. Проделав ряд математических преобразований, мы получаем уравнение \(cos(\phi) = \frac{13}{\sqrt{338}}\). Найденное уравнение можно решить, чтобы получить численное значение угла фи.