Необходимо доказать эквивалентность выражений (а/а^2-25-а-8/а^2-10а+25):а-20/(а-5)^2 и -а/а+5

Романовна

20

Хорошо, для доказательства эквивалентности выражений \(\frac{a}{a^2-25} - \frac{a-8}{a^2-10a+25}\) и \(-\frac{a}{a+5}\) мы можем привести оба выражения к общему знаменателю и затем сравнить числители.

Давайте начнем с первого выражения. Мы увидим, что знаменатели равны \((a^2-25)\) и \((a^2-10a+25)\). Умножим первое слагаемое \(\frac{a}{a^2-25}\) на \(\frac{a+5}{a+5}\), а второе слагаемое \(\frac{a-8}{a^2-10a+25}\) умножим на \(\frac{a-5}{a-5}\), чтобы привести оба слагаемых к общему знаменателю \((a^2-25)(a^2-10a+25)\). Таким образом, первое выражение становится:

\[
\frac{a(a+5)}{(a^2-25)(a^2-10a+25)} - \frac{(a-8)(a-5)}{(a^2-25)(a^2-10a+25)}
\]

Теперь объединим числители:

\[
\frac{a(a+5) - (a-8)(a-5)}{(a^2-25)(a^2-10a+25)}
\]

Давайте упростим числитель:

\[
a(a+5) - (a-8)(a-5) = a^2 + 5a - (a^2 - 13a + 40) = a^2 + 5a - a^2 + 13a - 40 = 18a - 40
\]

Таким образом, первое выражение можно записать в виде:

\[
\frac{18a - 40}{(a^2-25)(a^2-10a+25)}
\]

Теперь, посмотрим на второе выражение \(-\frac{a}{a+5}\). Мы видим, что знаменатель здесь равен \((a+5)\). Чтобы выразить его в виде \((a^2-25)(a^2-10a+25)\), умножим числитель и знаменатель на \((a-5)\). Тогда, второе выражение становится:

\[
-\frac{a(a-5)}{(a+5)(a-5)} = -\frac{a(a-5)}{(a^2-25)}
\]

Теперь мы можем сравнить оба выражения:

\[
\frac{18a - 40}{(a^2-25)(a^2-10a+25)} = -\frac{a(a-5)}{(a^2-25)}
\]

Видим, что оба выражения имеют общий знаменатель \((a^2-25)\). Поэтому, для того, чтобы доказать эквивалентность, нам нужно сравнить только числители:

\[
18a - 40 = -a(a-5)
\]

Теперь упростим это равенство:

\[
18a - 40 = -a^2 + 5a
\]

При переносе всех членов в одну сторону и приведении подобных слагаемых получим:

\[
a^2 + 23a - 40 = 0
\]

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем разложить его на множители, чтобы найти корни:

\[
(a + 40)(a - 1) = 0
\]

Отсюда видно, что корни уравнения равны \(a = -40\) и \(a = 1\).

Таким образом, мы доказали, что исходные выражения эквивалентны при \(a = -40\) и \(a = 1\).