Проконтролируйте систему неравенств: (10-2х)/3 + (5-2х)^2 ≥ 0 и 2-7х ≤ 14-3х. Это пример системы неравенств

Mandarin

50

Хорошо, давайте решим данную систему неравенств по порядку.

Первое неравенство: \(\frac{{10-2x}}{3} + (5-2x)^2 \geq 0\)

Давайте начнем с преобразования первой части этого неравенства. Упрощаем числитель:

\(\frac{{10-2x}}{3} = \frac{10}{3} - \frac{2x}{3}\)

Теперь возьмем квадрат второй части:

\((5-2x)^2 = (5-2x)(5-2x) = 25 - 10x - 10x + 4x^2 = 25 - 20x + 4x^2\)

Объединим оба слагаемых:

\(\frac{10}{3} - \frac{2x}{3} + 25 - 20x + 4x^2 \geq 0\)

Теперь объединим все слагаемые в одно уравнение:

\(\frac{10 - 2x + 75 - 60x + 12x^2}{3} \geq 0\)

Для дальнейшего удобства можно умножить обе части неравенства на 3, чтобы избавиться от дробей:

\(10 - 2x + 75 - 60x + 12x^2 \geq 0\)

Соберем все слагаемые и приведем уравнение в стандартную форму:

\(12x^2 - 62x + 85 \geq 0\)

Теперь давайте решим второе неравенство: \(2-7x \leq 14-3x\)

Для начала приведем неравенство к стандартной форме:

\(-7x + 2 \leq -3x + 14\)

Теперь перенесем все слагаемые с \(x\) в одну часть неравенства:

\(-7x + 3x \leq 14 - 2\)

\(-4x \leq 12\)

Теперь разделим обе части неравенства на \(-4\), при этом помним, что при делении на отрицательное число неравенство меняет свое направление:

\(x \geq -3\)

Получили, что \(x\) должно быть больше или равно \(-3\).

Таким образом, система неравенств состоит из двух условий:

1) \(12x^2 - 62x + 85 \geq 0\)

2) \(x \geq -3\)

Она выполняется, когда оба условия истинны одновременно.

Теперь мы решим задачу, используя график. Построим графики двух условий на координатной плоскости.

В начале построим график первого условия. Для этого найдем корни квадратного уравнения, чтобы найти точки пересечения с осью Х:

\(12x^2 - 62x + 85 = 0\)

Для начала, найдем дискриминант:

\(D = b^2 - 4ac = (-62)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 85\)

\(D = 3844 - 4080 = -236\)

Так как дискриминант меньше нуля, корни не вещественные и эта квадратная функция не пересекает ось Х. То есть, график лежит целиком выше или ниже оси Х.

Следовательно, первое условие \(12x^2 - 62x + 85 \geq 0\) выполняется для всех значений \(x\).

Теперь построим график второго условия \(x \geq -3\). Это представляет собой вертикальную прямую, которая проходит через точку \((-3,0)\) и продолжается вправо.

Затем надо найти область перекрытий двух условий. Так как первое условие выполняется для всех значений \(x\), а второе условие выполняется для \(x \geq -3\), то область пересечения будет всеми значениями \(x\), которые больше или равны \(-3\).

Таким образом, окончательным ответом на данную систему неравенств будет: \(-3 \leq x\)