Подтвердите, что для любого натурального значения n верно следующее равенство: 1+4+7+...+(3n-2) = n(3n-1)/2

Вечный_Мороз

56

Хорошо, решим данную задачу. Для начала, мы можем заметить, что каждый член последовательности представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом 1 и разностью 3. Давайте обозначим сумму всех членов этой прогрессии как S.

Поэтому, мы можем записать сумму S следующим образом:
S = 1 + 4 + 7 + ... + (3n-2)

Мы можем заметить, что каждый следующий член в прогрессии получается путем прибавления 3 к предыдущему члену. Чтобы выразить члены прогрессии более явно, заметим, что общий член прогрессии \(a_n\) можно записать как:

\(a_n = a_1 + (n-1)d\),

где \(a_1\) - первый член прогрессии, \(d\) - разность прогрессии, а \(n\) - номер члена прогрессии.

В нашем случае, \(a_1 = 1\) и \(d = 3\), так как каждый следующий член прогрессии отличается от предыдущего на 3.

Теперь найдем последний член этой прогрессии, то есть \(n\)-й член, который равен \(3n - 2\).

Подставим значения \(a_1\), \(d\) и \(n\):

\(a_n = 1 + (n-1)3 = 1 + 3n - 3 = 3n - 2\).

Итак, мы получили, что последний член этой прогрессии равен \(3n - 2\).

Теперь, чтобы найти сумму всех членов прогрессии, мы можем воспользоваться формулой для суммы арифметической прогрессии:

\(S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\).

Подставим значения \(a_1\), \(a_n\) и упростим выражение:

\(S = \frac{n}{2}(1 + (3n - 2))\)

\(S = \frac{n}{2}(3n - 1)\)

Таким образом, мы доказали, что сумма данной арифметической прогрессии равна \(\frac{n}{2}(3n - 1)\) для любого натурального значения \(n\).

Надеюсь, это решение понятно для вас. Если у вас возникнут еще какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.