Подтвердите тот факт, что разность между квадратом числа, которое не является кратным 3, и единицей является кратной

Sonechka

64

Чтобы подтвердить факт, что разность между квадратом числа, которое не является кратным 3, и единицей является кратной 3, нам нужно представить это с помощью математического рассуждения и формул.

Допустим, у нас есть некоторое число \(x\), которое не является кратным 3. Тогда его квадрат можно обозначить как \(x^2\). Разность между квадратом этого числа и единицей составляет \(x^2 - 1\).

Теперь нам нужно показать, что \(x^2 - 1\) является кратной 3. Для этого нам потребуется знание о делении и остатках от деления на 3.

Когда число делится на 3 без остатка, мы говорим, что оно кратно 3. Иначе, если у числа есть остаток при делении на 3, оно не является кратным 3.

Посмотрим, что произойдет, если значение \(x\) является кратным 3. В этом случае, мы имеем \(x = 3n\), где \(n\) - целое число. Подставив это значение в формулу, получим:

\((3n)^2 - 1 = 9n^2 - 1\)

Мы видим, что разность между квадратом числа, кратного 3, и единицей равна \(9n^2 - 1\). Обратите внимание, что данное выражение можно представить в виде произведения:

\(9n^2 - 1 = (3n)^2 - 1^2 = (3n - 1)(3n + 1)\)

Таким образом, мы получили, что \(9n^2 - 1\) можно разложить на множители \((3n - 1)\) и \((3n + 1)\).

Однако, для доказательства того, что это выражение является кратным 3, нам достаточно показать, что хотя бы один из множителей является кратным 3. В нашем случае, один из множителей, а именно \((3n - 1)\), должен быть кратным 3.

Предположим, что \((3n - 1)\) не является кратным 3. Это означает, что остаток от деления \((3n - 1)\) на 3 будет равен либо 1, либо 2.

Однако мы также можем обратиться к исходному предположению, что \(x\) не является кратным 3. Это означает, что \(x\) не может иметь остаток 0 при делении на 3. Таким образом, возможные остатки для \(x\) при делении на 3 - это 1 или 2.

Подставляя остатки в формулу для \(x\), получаем:

- Если \(x\) имеет остаток 1 при делении на 3, то \(x = 3n + 1\). Тогда \(x^2 = (3n + 1)^2 = 9n^2 + 6n + 1\). Разность между квадратом этого числа и единицей будет равна: \(x^2 - 1 = 9n^2 + 6n + 1 - 1 = 9n^2 + 6n\). В этом выражении мы видим, что каждый член является кратным 3 (все элементы, включая \(9n^2\) и \(6n\), делятся на 3 без остатка).

- Если \(x\) имеет остаток 2 при делении на 3, то \(x = 3n + 2\). Тогда \(x^2 = (3n + 2)^2 = 9n^2 + 12n + 4\). Разность между квадратом этого числа и единицей будет равна: \(x^2 - 1 = 9n^2 + 12n + 4 - 1 = 9n^2 + 12n + 3\). В этом выражении все члены, включая \(9n^2\), \(12n\) и \(3\), являются кратными 3.

Таким образом, независимо от значения остатка \(x\) при делении на 3, разность между квадратом числа, которое не является кратным 3, и единицей, является кратной 3. Это завершает наше доказательство факта.