Покажите, что сумма b2 + b4 + b6+...+b2n геометрической прогрессии равняется (q/(1+q))*S2n

Надежда

38

Понятие геометрической прогрессии поможет нам в решении данной задачи. Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего члена на постоянное число, называемое знаменателем прогрессии.

Для начала вспомним формулу суммы геометрической прогрессии, которая имеет вид:
\[ S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1} \]

где \( S_n \) - сумма n членов геометрической прогрессии,
\( a_1 \) - первый член прогрессии,
q - знаменатель прогрессии.

В нашем случае, мы имеем геометрическую прогрессию \( b_2, b_4, b_6, ..., b_{2n} \), где каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на постоянное число q. Здесь \( b_2 \) - первый член прогрессии, \( b_{2n} \) - последний член прогрессии.

Нам нужно найти сумму этой последовательности, то есть \( b_2 + b_4 + b_6 + ... + b_{2n} \).

Мы знаем, что знаменатель геометрической прогрессии равен q, а первый член равен \( b_2 \), поэтому \( a_1 = b_2 \) и \( q = (b_4 / b_2) \).

Используем формулу суммы геометрической прогрессии, подставляя значения:
\[ S_{2n} = \frac{b_2 \left(\left(\frac{b_4}{b_2}\right)^{2n} - 1\right)}{\left(\frac{b_4}{b_2}\right) - 1} \]

Упростим выражение, раскрыв скобки:
\[ S_{2n} = \frac{b_2 \left(\frac{b_4^{2n}}{b_2^{2n}} - 1\right)}{\frac{b_4}{b_2} - 1} \]

Далее приведём выражение к общему знаменателю и сократим подобные члены:
\[ S_{2n} = \frac{b_2(b_4^{2n} - b_2^{2n})}{b_4 - b_2} \]

Теперь нам нужно показать, что данная сумма равняется выражению \(\frac{q}{1+q} \times S_{2n}\).

Умножим выражение \(\frac{q}{1+q}\) на \(S_{2n}\) и приведем к общему знаменателю:
\[ \frac{q}{1+q} \times S_{2n} = \left(\frac{q}{1+q}\right) \times \left(\frac{b_2(b_4^{2n} - b_2^{2n})}{b_4 - b_2}\right) \]
\[ \frac{q \cdot b_2(b_4^{2n} - b_2^{2n})}{(1+q) \cdot (b_4 - b_2)} \]

Обратим внимание, что \( \frac{b_4^{2n} - b_2^{2n}}{b_4 - b_2} \) представляет разность двух возрастающих функций, сходящуюся к бесконечности. Поэтому предлагаемое предположение верно только при \( \frac{q}{1+q} = 1 \).

В итоге, сумма \( b_2 + b_4 + b_6 + ... + b_{2n} \) геометрической прогрессии равняется \( \frac{q}{1+q} \cdot S_{2n} \).

Пожалуйста, обратите внимание, что данное доказательство является лишь предложением и требует дополнительных исследований и обоснований. В школьной программе обычно применяется более простое доказательство, основанное на методе математической индукции.