Построение графика квадратной функции с-9. Как найти координаты вершины параболы для следующих функций: а) g(x)

Цикада

47

Хорошо, давайте решим задачу построения графика квадратной функции и нахождения координат вершины для каждой заданной функции.

а) Функция g(x) = х^2 + 4х + 2
Для нахождения координат вершины параболы, воспользуемся формулой x = -b/(2a), где a, b и c - значения в уравнении параболы g(x) = ax^2 + bx + c.

В данном случае, a = 1, b = 4 и c = 2.

x = -4/(2*1) = -4/2 = -2.

Таким образом, координата x вершины параболы равна -2.

Для нахождения координаты y вершины параболы, подставляем x обратно в исходную функцию.

g(-2) = (-2)^2 + 4*(-2) + 2 = 4 - 8 + 2 = -2.

Таким образом, координата y вершины параболы равна -2.

Ответ: Координаты вершины параболы для функции g(x) = х^2 + 4х + 2 равны (-2, -2).

б) Функция g(x) = -х^2 – 6х + 3
Аналогично предыдущему случаю, находим координаты вершины параболы.

В данном случае, a = -1, b = -6 и c = 3.

x = -(-6)/(2*(-1)) = 6/(-2) = -3.

Таким образом, координата x вершины параболы равна -3.

g(-3) = -(-3)^2 - 6*(-3) + 3 = -9 + 18 + 3 = 12.

Таким образом, координата y вершины параболы равна 12.

Ответ: Координаты вершины параболы для функции g(x) = -х^2 – 6х + 3 равны (-3, 12).

в) Функция g(x) = 4х^2 – 8x - 1
Опять же, применим формулу для нахождения координат вершины параболы:

В данном случае, a = 4, b = -8 и c = -1.

x = -(-8)/(2*4) = 8/8 = 1.

Таким образом, координата x вершины параболы равна 1.

g(1) = 4*(1)^2 - 8*1 - 1 = 4 - 8 - 1 = -5.

Таким образом, координата y вершины параболы равна -5.

Ответ: Координаты вершины параболы для функции g(x) = 4х^2 – 8x - 1 равны (1, -5).

Теперь произведём построение графика функции g(x) = х^2 + 4х + 2 и решим задачи:

а) Нули функции:
Чтобы найти нули функции, необходимо решить уравнение g(x) = 0.

х^2 + 4х + 2 = 0.

Однако, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это можно увидеть по дискриминанту уравнения, который равен: D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4*1*2 = 16 - 8 = 8. Так как D > 0, то уравнение не имеет действительных корней.

б) Промежутки, в которых g(x) < 0 и g(x) > 0:
Для этого необходимо проанализировать значения функции на промежутках между корнями и снаружи.

Так как у функции нет действительных корней, то она не меняет знака на всей числовой прямой. То есть, g(x) > 0 для всех значений x, и промежутков, где g(x) < 0, нет.

в) Промежутки убывания и возрастания функции:
Для определения промежутков убывания и возрастания, необходимо проанализировать знак производной функции.

Производная функции g(x) = х^2 + 4х + 2 равна g"(x) = 2x + 4.

Решим неравенство g"(x) > 0:
2x + 4 > 0,
2x > -4,
x > -2.

Таким образом, функция g(x) = х^2 + 4х + 2 возрастает на промежутке x > -2.

г) Наименьшее значение функции:
Наименьшее значение функции можно найти в вершине параболы. В данном случае, мы уже вычислили координаты вершины ранее: (-2, -2). Таким образом, наименьшее значение функции равно -2.

После проведения всех вычислений, мы можем построить график функции g(x) = х^2 + 4х + 2 и отметить на нём все найденные значения и промежутки.