При каких значениях переменной X будут последовательными членами геометрической прогрессии числа 3x²+1, x²+5 и x²-7?

Звёздочка_6269

18

Чтобы определить при каких значениях переменной \(x\) выражения \(3x^2+1\), \(x^2+5\) и \(x^2-7\) будут последовательными членами геометрической прогрессии, нужно найти отношения последовательных членов этой прогрессии и решить уравнение, которое этим отношениям соответствует.

Пусть первый член геометрической прогрессии равен \(a_1 = 3x^2+1\), второй член равен \(a_2 = x^2+5\), а третий член равен \(a_3 = x^2-7\). Отношение между последовательными членами равно константе \(q\). То есть:

\[
\frac{{a_2}}{{a_1}} = \frac{{a_3}}{{a_2}} = q
\]

Решим уравнение для определения значения \(x\):

\[
\frac{{x^2+5}}{{3x^2+1}} = \frac{{x^2-7}}{{x^2+5}}
\]

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\[
(x^2+5)^2 = (3x^2+1)(x^2-7)
\]

Распределим произведение:

\[
x^4 + 10x^2 + 25 = 3x^4 - 21x^2 + x^2 - 7
\]

Сгруппируем одночлены:

\[
0 = 2x^4 - 32x^2 - 32
\]

Поделим уравнение на 2:

\[
0 = x^4 - 16x^2 - 16
\]

Такое квадратное уравнение можно решить, представив его в виде:

\[
(x^2)^2 - 16(x^2) - 16 = 0
\]

Решим его с помощью метода подстановки:

Пусть \(u = x^2\), тогда уравнение принимает форму:

\[
u^2 - 16u - 16 = 0
\]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение:

\[
(u-4)(u+4) = 0
\]

Или

\[
u = 4, \quad u = -4
\]

Подставим обратно \(u = x^2\):

\[
x^2 = 4, \quad x^2 = -4
\]

Отрицательного значения \(x^2\) нет, так как квадрат не может быть отрицательным. Возьмем только положительный вариант:

\[
x^2 = 4
\]

Возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[
x = \pm 2
\]

Таким образом, значения \(x\) равны 2 или -2. При этих значениях переменной \(x\), выражения \(3x^2+1\), \(x^2+5\) и \(x^2-7\) будут последовательными членами геометрической прогрессии.