При включении магнитного поля, направленного перпендикулярно плоскости конца, заряд q = 10-5 кл протекает по кольцу

Zvonkiy_Spasatel

5

Дано:
q1 = 10^{-5} кл (заряд по кольцу)

Требуется найти:
q2 (заряд по проволоке)

Решение:
Когда магнитное поле включается, оно создает силу Лоренца, которая действует на заряды в проволоке и в кольце.
Сила, действующая на кольцо, будет создавать электрическое поле, направленное в противоположную сторону и препятствующее движению электронов в проволоке. Благодаря этому, заряд q2 будет протекать по проволоке.

Первым шагом рассчитаем индукцию магнитного поля внутри кольца. Воспользуемся формулой для индукции магнитного поля в круговом проводнике: B = \frac{{\mu_0 \cdot I}}{{2 \cdot R}}, где B - индукция магнитного поля, \mu_0 - магнитная постоянная (4\pi \times 10^{-7} Тл/А\cdotм), I - ток в кольце, R - радиус кольца.

Так как кольцо изготовлено из тонкой проволоки, можно представить его как бесконечное количество бесконечно малых элементов, каждый из которых имеет длину dl и заряд dq. Тогда заряд q1 кольца можно представить в виде интеграла от 0 до 2\pi R по формуле q1 = \int_{0}^{2\pi R} dq = \int_{0}^{2\pi R} \lambda dl, где \lambda - линейная плотность заряда.

Из формулы q1 = \int_{0}^{2\pi R} \lambda dl находим линейную плотность заряда: \lambda = \frac{{q1}}{{2\pi R}}.

Теперь рассмотрим один из элементов кольца. В магнитном поле этот элемент будет испытывать действие силы Лоренца, направленной перпендикулярно плоскости кольца (входящей или выходящей). Сила Лоренца L = q1 \cdot v \cdot B, где q1 - заряд элемента, v - скорость элемента, B - индукция магнитного поля.

Скорость v можно найти, зная, что общее время, за которое заряд проходит по кольцу, равно времени периода T_1. Следовательно, v = \frac{{2\pi R}}{{T_1}}.

Подставим значения в формулу силы Лоренца: L = q1 \cdot \frac{{2\pi R}}{{T_1}} \cdot B.

Обратимся к моменту деформации кольца. После деформации кольца оно станет квадратным и его радиус станет равным половине длины стороны квадрата, то есть R" = \frac{{R}}{{2}}. Следовательно, сила Лоренца будет действовать на проволоку и создавать электрическое поле в сопротивлении движению зарядов по проволоке. Электрическое поле E = \frac{{L}}{{q2}}.

Так как сила Лоренца, действующая на проволоку, будет препятствовать движению электронов, то сила тока в проволоке будет равна 0 (полный сопротивляющий ток). Следовательно, можно записать уравнение: E = \frac{{\Delta V}}{{l}}, где \Delta V - разность потенциалов на краях проволоки, l - длина проволоки.

Используем формулу для электрического поля проводника E = \frac{{\lambda}}{{2 \cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot R"}}, где \varepsilon - абсолютная диэлектрическая проницаемость (8,85 \times 10^{-12} Ф/м).

Подставим значения и найдем разность потенциалов на краях проволоки: \Delta V = E \cdot l = \frac{{\lambda \cdot l}}{{2 \cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot R"}}.

Подставим известные значения, связанные с кольцом (q1, R) и проволокой (R", l), и найдем q2. В итоге получаем ответ: q2 = \frac{{q1 \cdot l \cdot R"}}{{R}}.