Prove the identity: sin^2a-cos^2a=1-2cos^2a

Цыпленок

56

Для доказательства данной тождественности мы можем воспользоваться тригонометрическими преобразованиями. Дано:

\[ \sin^2{a} - \cos^2{a} = 1 - 2\cos^2{a} \]

Давайте начнем:

1. Используем тригонометрическое тождество \(\sin^2{a} + \cos^2{a} = 1\). Теперь выразим \(\sin^2{a}\) через \(\cos^2{a}\):

\[ \sin^2{a} = 1 - \cos^2{a} \]

2. Подставим это значение обратно в исходное уравнение:

\[ 1 - \cos^2{a} - \cos^2{a} = 1 - 2\cos^2{a} \]

3. Раскроем скобки и упростим выражение:

\[ 1 - 2\cos^2{a} = 1 - 2\cos^2{a} \]

4. Таким образом, мы видим, что левая часть выражения равна правой. Доказательство завершено.

Таким образом, было доказано, что \(\sin^2{a} - \cos^2{a} = 1 - 2\cos^2{a}\) при условии, что \(\sin^2{a} + \cos^2{a} = 1\).