Пусть дана система уравнений {x2−y2=8 3x2+2y2=29 (при преобразовании укажи корни с наибольшим значением x). 1

Морской_Путник

57

Давайте решим эту систему уравнений пошагово, чтобы ответ был понятен школьнику.

1. Начнем с первого уравнения: \(x^2 - y^2 = 8\).
Мы можем привести его к виду, удобному для решения, выделяя квадраты:
\((x-y)(x+y) = 8\).
Давайте продолжим решать систему.

2. Теперь рассмотрим второе уравнение: \(3x^2 + 2y^2 = 29\).
Сделаем то же самое, выделяя квадраты:
\((\sqrt{3}x)^2 + (\sqrt{2}y)^2 = 29\).

3. Подставим выражение для \(x\) из первого уравнения во второе уравнение:
\[3(x-y)(x+y) + 2y^2 = 29.\]

4. Теперь заметим, что у нас есть выражение для \(x-y\) из первого уравнения:
\(x-y = \frac{8}{x+y}\).
Заменим \(x-y\) во втором уравнении:
\(3 \cdot \frac{8}{x+y}(x+y) + 2y^2 = 29\).

5. Упростим это выражение:
\(24 + 2y^2 = 29\).
Перенесем 24 на другую сторону:
\(2y^2 = 29 - 24\).

6. Продолжим упрощать:
\(2y^2 = 5\).
Теперь поделим обе части на 2:
\(y^2 = \frac{5}{2}\).

7. Извлечем квадратный корень обеих частей уравнения:
\(y = \pm \sqrt{\frac{5}{2}}\).
Обратите внимание, что в рамках задачи указано, чтобы мы использовали корни с наибольшим значением \(x\), поэтому выберем положительный корень.

8. Теперь, имея значение \(y\), мы можем найти значение \(x\) с помощью первого уравнения:
\(x^2 - (\sqrt{\frac{5}{2}})^2 = 8\).
Упростим и решим это уравнение:
\(x^2 - \frac{5}{2} = 8\).

9. Добавим \(\frac{5}{2}\) к обеим сторонам:
\(x^2 = 8 + \frac{5}{2}\).

10. Получим:
\(x^2 = \frac{21}{2}\).

11. Извлечем квадратный корень:
\(x = \pm \sqrt{\frac{21}{2}}\).

12. Снова, в рамках задачи указано, чтобы мы использовали корни с наибольшим значением \(x\), поэтому выберем положительный корень.

Таким образом, ответ на систему уравнений будет следующим:

1. \(x = \sqrt{\frac{21}{2}}, \quad y = \sqrt{\frac{5}{2}}\).
2. \(x = -\sqrt{\frac{21}{2}}, \quad y = -\sqrt{\frac{5}{2}}\).
3. \(x = \sqrt{\frac{21}{2}}, \quad y = -\sqrt{\frac{5}{2}}\).
4. \(x = -\sqrt{\frac{21}{2}}, \quad y = \sqrt{\frac{5}{2}}\).

Пожалуйста, примите во внимание, что эти значения округлены и выражены в десятичной форме.