Решение системы неравенств с двумя неизвестными значениями. 1. Предполагаемые числа (15;6) являются решением

Sonya

57

Для решения данной системы неравенств с двумя неизвестными, мы можем использовать метод графического представления, а также алгоритмы подстановки и проверки значений.

1. Решение системы неравенств:
а) \(x - y - 1 > 0\)
б) \(-10x - y \geq -11\)

а) Рассмотрим неравенство \(x - y - 1 > 0\). Нам нужно найти все значения \(x\) и \(y\), для которых это неравенство является верным. Для начала, найдем прямую, определяемую неравенством. Приведем его к эквивалентному неравенству \(y < x - 1\). Получившаяся прямая будет линией разделяющей два пространства:

\[
y = x - 1
\]

Теперь мы видим, что все точки, лежащие ниже этой прямой, удовлетворяют неравенству \(x - y - 1 > 0\). Затем мы можем выбрать произвольную точку из этой области, например, \((15,6)\), и подставить ее значения в первое неравенство для проверки. Действительно, \(15 - 6 - 1 = 8 > 0\). Таким образом, точка \((15,6)\) является решением первого неравенства.

б) Продолжая процесс, рассмотрим неравенство \(-10x - y \geq -11\). Приведем его к эквивалентному неравенству \(y \leq -10x + 11\). Получившаяся прямая будет иметь следующий вид:

\[
y = -10x + 11
\]

Теперь мы видим, что все точки, лежащие ниже этой прямой, удовлетворяют неравенству \(-10x - y \geq -11\). Аналогично, подставив значения \((15,6)\) во второе неравенство, мы получим \(-10(15) - 6 = -150 - 6 = -156 \geq -11\), что верно. Таким образом, точка \((15,6)\) также является решением второго неравенства.

2. Найдите решение для следующего неравенства:
а) \(y > -x\)
б) \(2x - y < -3\)
в) \(2xy \leq 5\)
г) \(x^2 + (y - 2)^2 \geq 4\)
д) \(x^2 + 2x + y^2 + 10y + 22 \geq 0\)

а) Рассмотрим неравенство \(y > -x\), которое определяет все точки лежащие выше прямой \(y = -x\). Это прямая проходит через начало координат и имеет наклон вниз. Точка из предполагаемых чисел \((15,6)\) не лежит на этой прямой, поэтому она не является решением данного неравенства.

б) Рассмотрим неравенство \(2x - y < -3\). Для начала, найдем прямую, определяемую этим неравенством. Приведем неравенство к эквивалентному виду: \(y > 2x + 3\). Получим прямую:

\[
y = 2x + 3
\]

Все точки, лежащие над этой прямой, удовлетворяют неравенству \(2x - y < -3\). Подставив значения \((15,6)\), получим \(2(15) - 6 = 30 - 6 = 24 > -3\), что также верно. Значит, точка \((15,6)\) является решением данного неравенства.

в) Рассмотрим неравенство \(2xy \leq 5\). Для упрощения, приведем его к эквивалентному виду: \(xy \leq \frac{5}{2}\).

Здесь нам уже необходимо построить график кривой, заданной этим неравенством. Однако, из-за сложности построения графика, мы можем воспользоваться тестированием.
Если мы подставим значения \((15,6)\):

\[
(15)(6) = 90 \nleq \frac{5}{2}
\]

Мы видим, что \(90 > \frac{5}{2}\). Следовательно, точка \((15,6)\) не является решением данного неравенства.

г) Рассмотрим неравенство \(x^2 + (y - 2)^2 \geq 4\). Это неравенство определяет область на плоскости, закрашенную или ограниченную кривой.

Для начала, найдем точку, в которой данное неравенство выполняется. Найдем корень уравнения \(x^2 + (y - 2)^2 = 4\).
\((y - 2)^2 = 4 - x^2\)
\(y - 2 = \pm \sqrt{4 - x^2}\)
\(y = 2 \pm \sqrt{4 - x^2}\)

Теперь мы видим, что все точки, лежащие снаружи кривой \(x^2 + (y - 2)^2 = 4\) (не включая саму кривую), удовлетворяют неравенству \(x^2 + (y - 2)^2 \geq 4\). Точка \((15,6)\) находится за пределами этой кривой и, следовательно, является решением данного неравенства.

д) Рассмотрим неравенство \(x^2 + 2x + y^2 + 10y + 22 \geq 0\).

Данный неравенство представляет собой уравнение окружности. Мы видим, что все точки, лежащие внутри или на окружности с центром \((-1,-5)\) и радиусом \(\sqrt{18}\), удовлетворяют неравенству \(x^2 + 2x + y^2 + 10y + 22 \geq 0\). Таким образом, точка \((15,6)\) находится внутри этой окружности и, следовательно, является решением данного неравенства.

Окончательно, для данной системы неравенств, единственная точка, удовлетворяющая обоим условиям, - \((15,6)\).