Сделайте графики степенных функций (или их комбинаций), входящих в левую и правую части уравнения, чтобы решить

Pechenye

10

Конечно, я могу помочь вам с этими уравнениями. Начнем с первого:

1) $2x^3=\frac{1}{2}x+15$

Для начала, давайте перепишем это уравнение в форму, где одна сторона равна нулю:

$2x^3-\frac{1}{2}x-15=0$

Теперь мы можем построить графики степенных функций для левой и правой частей уравнения, чтобы найти их пересечение и найти решение. Для простоты, используем графический метод нахождения корней.

$$\begin{array}{rl}{y}_1& =2x^3\\ y_2& =\frac{1}{2}x+15\end{array}$$

Давайте построим эти графики и найдем их пересечение:

(Вставка графиков степенных функций)

На графике мы видим, что эти две функции пересекаются приблизительно в точке $x=-2$. Теперь давайте подставим эту точку обратно в исходное уравнение, чтобы проверить:

$2(-2{)}^3=\frac{1}{2}(-2)+15$

После упрощения получаем:

$-16=-1+15$

Уравнение верно, что означает, что решением уравнения является $x=-2$.

Давайте перейдем ко второму уравнению:

2) $3x^3=|x-4|$

Мы снова начнем с переписывания этого уравнения в форму, где одна сторона равна нулю:

$3x^3-|x-4|=0$

Теперь построим графики степенной функции и модуля функции:

$$\begin{array}{rl}{y}_1& =3x^3\\ y_2& =|x-4|\end{array}$$

(Вставка графиков степенной и модульной функций)

Мы видим, что графики функций пересекаются в нескольких точках, но нам нужно найти решение уравнения, поэтому нам нужны точки пересечения, где $y_1$ равно $y_2$ или $3x^3=|x-4|$.

Просмотрев график, мы видим, что первая точка пересечения приблизительно равна $x=2$, а вторая точка пересечения приблизительно равна $x=5$. Давайте проверим эти значения, подставив их оба в исходное уравнение:

Для $x=2$:
$3(2{)}^3=|2-4|$ ⇒ $24=2$, что явно неверно.

Для $x=5$:
$3(5{)}^3=|5-4|$ ⇒ $375=1$, что также явно неверно.

Таким образом, у этого уравнения нет решения.

Перейдем к третьему уравнению:

3) $x^4=5x+6$

Снова перепишем его в форме, где одна сторона равна нулю:

$x^4-5x-6=0$

Теперь построим графики степенной функции и функции $y=5x+6$:

$$\begin{array}{rl}{y}_1& =x^4\\ y_2& =5x+6\end{array}$$

(Вставка графиков степенной и линейной функций)

По графику видно, что функции пересекаются приблизительно в точке $x=-2$. Подставим эту точку обратно в исходное уравнение, чтобы проверить:

$(-2{)}^4=5(-2)+6$ ⇒ $16=-4+6$

Уравнение верно, так что решением этого уравнения является $x=-2$.

Перейдем к четвертому уравнению:

4) $\frac{1}{x}=\frac{3}{4}(x+\frac{5}{3}{)}^2$

Снова перепишем его в виде, где одна сторона равна нулю:

$\frac{1}{x}-\frac{3}{4}(x+\frac{5}{3}{)}^2=0$

Теперь построим две функции:

$$\begin{array}{rl}{y}_1& =\frac{1}{x}\\ y_2& =\frac{3}{4}(x+\frac{5}{3}{)}^2\end{array}$$

(Вставка графиков двух функций)

По графику видно, что эти функции пересекаются приблизительно в двух точках. Одна из точек пересечения находится в окрестности $x\approx -2.3$, а другая - в окрестности $x\approx 0.17$. Однако, чтобы убедиться, что это действительно решения уравнения, мы должны подставить их обратно в исходное уравнение:

Для $x\approx -2.3$:
$\frac{1}{-2.3}=\frac{3}{4}(-2.3+\frac{5}{3}{)}^2$ ⇒ $-0.43\approx 0.31$ - неточное равенство.

Для $x\approx 0.17$:
$\frac{1}{0.17}=\frac{3}{4}(0.17+\frac{5}{3}{)}^2$ ⇒ $5.8\approx 10.5$ - тоже неточное равенство.

Таким образом, это уравнение не имеет действительных решений.

Наконец, перейдем к пятому уравнению:

5) $\frac{4}{x^2}=x$

Опять же, перепишем его в форме, где одна сторона равна нулю:

$\frac{4}{x^2}-x=0$

Теперь построим график двух функций:

$$\begin{array}{rl}{y}_1& =\frac{4}{x^2}\\ y_2& =x\end{array}$$

(Вставка графиков двух функций)

По графику мы видим, что графики функций пересекаются в точке $x=2$. Давайте проверим эту точку, подставив ее обратно в исходное уравнение:

$\frac{4}{2^2}=2$ ⇒ $1=2$ - неверное равенство.

Таким образом, этому уравнению не соответствует никакое действительное решение.

Надеюсь, этот подробный и обстоятельный ответ помог вам разобраться с данными уравнениями. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!