Сделайте графики степенных функций (или их комбинаций), входящих в левую и правую части уравнения, чтобы решить

Pechenye

10

Конечно, я могу помочь вам с этими уравнениями. Начнем с первого:

1) \(2x^3 = \frac{1}{2}x + 15\)

Для начала, давайте перепишем это уравнение в форму, где одна сторона равна нулю:

\(2x^3 - \frac{1}{2}x - 15 = 0\)

Теперь мы можем построить графики степенных функций для левой и правой частей уравнения, чтобы найти их пересечение и найти решение. Для простоты, используем графический метод нахождения корней.

\[
\begin{align*}
y_1 &= 2x^3 \\
y_2 &= \frac{1}{2}x + 15
\end{align*}
\]

Давайте построим эти графики и найдем их пересечение:

(Вставка графиков степенных функций)

На графике мы видим, что эти две функции пересекаются приблизительно в точке \(x=-2\). Теперь давайте подставим эту точку обратно в исходное уравнение, чтобы проверить:

\(2(-2)^3 = \frac{1}{2}(-2) + 15\)

После упрощения получаем:

\(-16 = -1 + 15\)

Уравнение верно, что означает, что решением уравнения является \(x = -2\).

Давайте перейдем ко второму уравнению:

2) \(3x^3 = |x-4|\)

Мы снова начнем с переписывания этого уравнения в форму, где одна сторона равна нулю:

\(3x^3 - |x-4| = 0\)

Теперь построим графики степенной функции и модуля функции:

\[
\begin{align*}
y_1 &= 3x^3 \\
y_2 &= |x-4|
\end{align*}
\]

(Вставка графиков степенной и модульной функций)

Мы видим, что графики функций пересекаются в нескольких точках, но нам нужно найти решение уравнения, поэтому нам нужны точки пересечения, где \(y_1\) равно \(y_2\) или \(3x^3 = |x-4|\).

Просмотрев график, мы видим, что первая точка пересечения приблизительно равна \(x=2\), а вторая точка пересечения приблизительно равна \(x=5\). Давайте проверим эти значения, подставив их оба в исходное уравнение:

Для \(x = 2\):
\(3(2)^3 = |2-4|\) ⇒ \(24 = 2\), что явно неверно.

Для \(x = 5\):
\(3(5)^3 = |5-4|\) ⇒ \(375 = 1\), что также явно неверно.

Таким образом, у этого уравнения нет решения.

Перейдем к третьему уравнению:

3) \(x^4 = 5x + 6\)

Снова перепишем его в форме, где одна сторона равна нулю:

\(x^4 - 5x - 6 = 0\)

Теперь построим графики степенной функции и функции \(y = 5x + 6\):

\[
\begin{align*}
y_1 &= x^4 \\
y_2 &= 5x + 6
\end{align*}
\]

(Вставка графиков степенной и линейной функций)

По графику видно, что функции пересекаются приблизительно в точке \(x = -2\). Подставим эту точку обратно в исходное уравнение, чтобы проверить:

\((-2)^4 = 5(-2) + 6\) ⇒ \(16 = -4 + 6\)

Уравнение верно, так что решением этого уравнения является \(x = -2\).

Перейдем к четвертому уравнению:

4) \(\frac{1}{x} = \frac{3}{4}(x+\frac{5}{3})^2\)

Снова перепишем его в виде, где одна сторона равна нулю:

\(\frac{1}{x} - \frac{3}{4}(x+\frac{5}{3})^2 = 0\)

Теперь построим две функции:

\[
\begin{align*}
y_1 &= \frac{1}{x} \\
y_2 &= \frac{3}{4}(x+\frac{5}{3})^2
\end{align*}
\]

(Вставка графиков двух функций)

По графику видно, что эти функции пересекаются приблизительно в двух точках. Одна из точек пересечения находится в окрестности \(x \approx -2.3\), а другая - в окрестности \(x \approx 0.17\). Однако, чтобы убедиться, что это действительно решения уравнения, мы должны подставить их обратно в исходное уравнение:

Для \(x \approx -2.3\):
\(\frac{1}{-2.3} = \frac{3}{4}(-2.3+\frac{5}{3})^2\) ⇒ \(-0.43 \approx 0.31\) - неточное равенство.

Для \(x \approx 0.17\):
\(\frac{1}{0.17} = \frac{3}{4}(0.17+\frac{5}{3})^2\) ⇒ \(5.8 \approx 10.5\) - тоже неточное равенство.

Таким образом, это уравнение не имеет действительных решений.

Наконец, перейдем к пятому уравнению:

5) \(\frac{4}{x^2} = x\)

Опять же, перепишем его в форме, где одна сторона равна нулю:

\(\frac{4}{x^2} - x = 0\)

Теперь построим график двух функций:

\[
\begin{align*}
y_1 &= \frac{4}{x^2} \\
y_2 &= x
\end{align*}
\]

(Вставка графиков двух функций)

По графику мы видим, что графики функций пересекаются в точке \(x = 2\). Давайте проверим эту точку, подставив ее обратно в исходное уравнение:

\(\frac{4}{2^2} = 2\) ⇒ \(1 = 2\) - неверное равенство.

Таким образом, этому уравнению не соответствует никакое действительное решение.

Надеюсь, этот подробный и обстоятельный ответ помог вам разобраться с данными уравнениями. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!