Сходится ли последовательность xₙ к нулю, если в любой окрестности нуля содержится бесконечно много членов

Инна

11

Да, последовательность \( x_n \) сходится к нулю, если в любой окрестности нуля содержится бесконечно много членов \( x_n \).

Давайте разберемся, почему это так.

Для начала, давайте вспомним определение сходимости последовательности. Последовательность называется сходящейся к числу \( L \), если для любого положительного числа \( \varepsilon \) существует натуральное число \( N \), такое что для всех \( n \geq N \) выполняется неравенство \( |x_n - L| < \varepsilon \).

В задаче дано, что в любой окрестности нуля содержится бесконечно много членов \( x_n \). Это означает, что есть такие индексы \( n_1, n_2, n_3, ... \), что каждое из чисел \( x_{n_1}, x_{n_2}, x_{n_3}, ... \) попадает в любую окрестность нуля.

Предположим, что последовательность \( x_n \) не сходится к нулю. Это означает, что существует такое положительное число \( \varepsilon_0 \), для которого не выполняется условие \( |x_n - 0| < \varepsilon_0 \) при \( n \geq N_0 \) для некоторого натурального числа \( N_0 \).

Но так как в любой окрестности нуля содержится бесконечно много членов \( x_n \), мы можем выбрать окрестность нуля так, чтобы в ней находились все члены последовательности \( x_n \) при \( n \geq N_0 \). Тогда мы можем выбрать \( \varepsilon \) так, чтобы \( \varepsilon < \varepsilon_0 \), и все равно найдется член \( x_n \), удовлетворяющий неравенству \( |x_n - 0| < \varepsilon \), что противоречит предположению о том, что последовательность \( x_n \) не сходится к нулю.

Таким образом, мы приходим к выводу, что если в любой окрестности нуля содержится бесконечно много членов \( x_n \), то последовательность \( x_n \) сходится к нулю.