Сколько квадратов 2×2 с такой же раскраской, как на рисунке левого верхнего угла, можно вырезать из этой доски

Vulkan

28

Для решения этой задачи нужно разобраться в ее условии и логике. Таким образом, начнем с обсуждения изначального расклада:

Изначально у нас есть доска размером 300×300, которая разделена на квадраты 3×3 и покрашена в шахматном порядке. Чтобы лучше понять, что это значит, можно визуализировать это перед глазами:

\[ \begin{array}{cccc}
Ч & Б & Ч & Б \\
Б & Ч & Б & Ч \\
Ч & Б & Ч & Б \\
Б & Ч & Б & Ч \\
\end{array} \]

В этом случае, "Ч" представляет квадраты одного цвета, а "Б" – квадраты другого цвета. Теперь, когда мы установили изначальные условия задачи, давайте перейдем к основной части вопроса.

На рисунке левого верхнего угла задана последовательность 2×2, которую мы должны вырезать из той же самой доски, повернув ее. Для визуализации этого, представим себе, что мы обратимся к изначальной доске размером 300×300, с которой мы начали. Теперь, когда мы установили изначальные условия и представили визуализацию, давайте начнем с решением задачи.

Чтобы вырезать квадраты 2×2, мы можем повернуть нашу изначальную доску в 90, 180 или 270 градусов. Это будет давать нам различные комбинации квадратов 2×2 нашей исходной доски.

Теперь давайте рассмотрим каждую из этих ситуаций по отдельности:

1. Поворот на 90 градусов: В этом случае, квадраты 2×2 будут располагаться вдоль горизонтальных и вертикальных линий нашей исходной доски. Первая позиция будет иметь одинаковую раскраску, как наша исходная подматрица 2×2 в левом верхнем углу. Мы можем перемещать эту подматрицу по всей доске, чтобы определить, сколько квадратов 2×2 можно вырезать.

2. Поворот на 180 градусов: В этом случае, квадраты 2×2 будут располагаться вдоль диагональных линий нашей исходной доски. Аналогично, мы можем перемещать подматрицу 2×2 по всей доске, чтобы определить, сколько квадратов 2×2 можно вырезать.

3. Поворот на 270 градусов: В этом случае, квадраты 2×2 также будут располагаться вдоль горизонтальных и вертикальных линий нашей исходной доски, но в другом направлении. Мы также можем перемещать подматрицу 2×2 по всей доске, чтобы определить, сколько квадратов 2×2 можно вырезать.

Теперь, когда у нас есть наши три ситуации после поворота, который может быть выполнен нашей исходной доской, нам нужно рассмотреть каждый из этих случаев и определить, сколько квадратов 2×2 мы можем вырезать в каждом случае. Для этого нам нужно оценить размер исходной доски и размер квадрата 2×2, чтобы определить, сколько раз подматрица 2×2 может поместиться в доске.

Итак, если мы повернем нашу исходную доску на 90, 180 или 270 градусов, мы можем определить, что число квадратов 2×2, которые могут быть вырезаны, будет зависеть от числа подматриц размером 2×2, которые помещаются на нашей доске. Общая формула для вычисления этого числа будет:

\[
\text{Количество квадратов 2×2} = (\text{Размер доски} - \text{Размер подматрицы} + 1)^2
\]

В нашем случае, размер доски составляет 300×300, а размер подматрицы составляет 2×2. Подставив эти значения в нашу формулу, мы получаем следующее:

\[
\text{Количество квадратов 2×2} = (300 - 2 + 1)^2 = 299^2 = 89401
\]

Итак, из исходной доски 300×300, которая разделена на квадраты 3×3 и покрашена в шахматном порядке, мы можем вырезать 89401 квадратов 2×2 с такой же раскраской, как на рисунке левого верхнего угла.