Сколько квадратов размером 2x2 с указанной раскраской можно вырезать с доски, которая была разделена на квадраты
Сколько квадратов размером 2x2 с указанной раскраской можно вырезать с доски, которая была разделена на квадраты 3x3 и покрашена в шахматном порядке (с учетом возможности предварительного поворота)?
Kotenok 68
Для решения этой задачи мы можем разбить ее на несколько шагов.Шаг 1: Посчитаем количество разных способов раскраски.
В каждом квадрате размером 3x3 мы можем покрасить клетки в двух возможных цвета: черный или белый. Значит, у нас есть 2^9 = 512 различных комбинаций раскраски доски.
Шаг 2: Рассмотрим каждую возможную раскраску.
Мы можем начать сезон с отдельного квадрата размером 2x2. Существует два типа таких квадратов: вертикальные и горизонтальные.
- Вертикальные квадраты размером 2x2. Будем считать, что верхний левый угол такого квадрата является черным квадратом 3x3.
Если такой квадрат вертикальный, то правый верхний угол нам не важен. Значит, он может быть каким угодно цветом. Итак, у нас есть 512 различных раскрасок доски 3x3. Следовательно, мы можем вырезать 512 вертикальных квадратов размером 2x2.
- Горизонтальные квадраты размером 2x2. Идея такая же, но теперь наша стартовая позиция находится в верхнем левом углу белого 2x2 квадрата.
Если такой квадрат горизонтальный, то нам не важен нижний правый угол. Значит, он может быть любого цвета. Тем самым, у нас есть еще 512 различных раскрасок доски 3x3. Следовательно, мы можем вырезать еще 512 горизонтальных квадратов размером 2x2.
Шаг 3: Заключительный шаг.
Чтобы получить общее количество квадратов 2x2, мы складываем количество вертикальных и горизонтальных квадратов:
512 + 512 = 1024.
Таким образом, мы можем вырезать 1024 квадрата размером 2x2 с заданной раскраской на доске размером 3x3, учитывая возможность предварительного поворота.