Сколько раз нужно подбросить игральную кость, чтобы выпало число очков, отличное от 6, 13 раз? Каково среднее

Morskoy_Korabl

69

Чтобы ответить на этот вопрос, нам понадобится представить себе последовательность подбрасываний игральной кости до тех пор, пока не выпадет число очков, отличное от 6, 13 раз.

Пошаговое решение:

1. Подбрасываем кость в первый раз. Вероятность выпадения числа очков, отличного от 6, составляет \(1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\), так как 6 есть только одна из шести возможных сторон кости. Обозначим это как событие \(A\).

2. Если выпадает число отличное от 6, мы записываем это как первый успешный результат и заканчиваем последовательность.

3. Если выпадает число 6, то это неудачный результат и мы продолжаем последовательность.

4. Мы повторяем шаги 1-3 до тех пор, пока не получим 13 успешных результатов.

Среднее количество подбрасываний:

Для определения среднего количества подбрасываний можно провести симуляцию данного процесса множество раз и вычислить среднее значение. Однако, мы можем также использовать математические принципы, чтобы найти данное значение.

Вероятность успешного подбрасывания (число очков, отличное от 6) составляет \(\frac{5}{6}\). Исходя из этого, мы можем представить данную задачу как геометрическое распределение с параметром \(p = \frac{5}{6}\).

Среднее количество подбрасываний в геометрическом распределении определяется как \(\frac{1}{p}\). Таким образом, среднее количество подбрасываний будет \(1 / (5/6) = \frac{6}{5} = 1.2\).

Среднеквадратичное отклонение:

Среднеквадратичное отклонение для геометрического распределения вычисляется по формуле \(\sqrt{\frac{1-p}{p^2}}\), где \(p\) - вероятность успешного события.

В нашем случае, \(p = \frac{5}{6}\). Подставляя это значение в формулу, мы получаем:

\(\sqrt{\frac{1-\frac{5}{6}}{\left(\frac{5}{6}\right)^2}} = \sqrt{\frac{\frac{1}{6}}{\frac{25}{36}}} = \sqrt{\frac{6}{25}} = \frac{\sqrt{6}}{5}\).

Таким образом, среднеквадратичное отклонение равно \(\frac{\sqrt{6}}{5}\).

Вероятность выпадения "шестерки":

Вероятность выпадения "шестерки" при подбрасывании игральной кости составляет \(\frac{1}{6}\), так как "шестерка" есть только одна из шести возможных сторон кости.

Ответы на поставленные вопросы:

1. Чтобы выпало число очков, отличное от 6, 13 раз, нам понадобится провести, в среднем, \(\frac{6}{5} \cdot 13 = 15.6\) подбрасываний.

2. Среднее количество подбрасываний равно 1.2.

3. Среднеквадратичное отклонение от среднего количества подбрасываний равно \(\frac{\sqrt{6}}{5}\).

4. Вероятность выпадения "шестерки" при подбрасывании игральной кости составляет \(\frac{1}{6}\).