Сколько существует способов выбрать 3 спортсменов из команды, состоящей из 8 успешных участников районных соревнований

Подсолнух

9

Для решения этой задачи мы будем использовать комбинаторику и конкретно подход, называемый "комбинаторным размещением".

Комбинаторное размещение представляет собой процесс выбора и размещения определенного количества элементов из заданного множества. В данном случае, мы хотим выбрать 3 спортсменов из команды, состоящей из 8 успешных участников районных соревнований.

Для вычисления количества комбинаторных размещений, мы можем использовать формулу комбинаторного размещения:

\[A_{n}^{k} = \frac{{n!}}{{(n-k)!}}\]

Где \(A_{n}^{k}\) обозначает количество комбинаторных размещений из \(n\) элементов по \(k\) элементов, \(n!\) обозначает факториал числа \(n\), а \((n-k)!\) обозначает факториал разности между \(n\) и \(k\).

Применим эту формулу к нашей задаче.

\(n = 8\) (общее количество успешных участников районных соревнований)
\(k = 3\) (количество спортсменов, которых мы хотим выбрать для участия в областных соревнованиях)

Теперь подставим значения в формулу:

\[A_{8}^{3} = \frac{{8!}}{{(8-3)!}} = \frac{{8!}}{{5!}}\]

Вычислим значения факториалов:

\[8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 40320\]
\[5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120\]

Теперь разделим значение факториала \(8!\) на значение факториала \(5!\) для получения количества комбинаторных размещений:

\[A_{8}^{3} = \frac{{8!}}{{5!}} = \frac{{40320}}{{120}} = 336\]

Таким образом, существует 336 способов выбрать 3 спортсменов из команды, чтобы они могли принять участие в областных соревнованиях.