Сколько точек пересечения у параболы y=2^ и прямой y=10x+5?

Lazernyy_Reyndzher

60

Давайте решим эту задачу пошагово, чтобы вы могли полностью понять процесс.

Итак, у нас есть парабола \(y=2x^2\) и прямая \(y=10x+5\). Мы хотим найти количество точек пересечения между ними.

Шаг 1: Найдем точки пересечения, находящиеся на обоих графиках. Для этого уравняем выражения для \(y\):

\[2x^2 = 10x+5\]

Шаг 2: Упростим уравнение, перенося все члены влево и получим квадратное уравнение:

\[2x^2 - 10x - 5 = 0\]

Шаг 3: Теперь мы можем решить это уравнение с помощью факторизации, полного квадратного трехчлена или формулы дискриминанта. Давайте воспользуемся формулой дискриминанта, чтобы найти значения \(x\):

Дискриминант (\(D\)) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).

В нашем случае, \(a = 2\), \(b = -10\) и \(c = -5\).

Мы можем вычислить значение дискриминанта следующим образом:

\[D = (-10)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5)\]
\[D = 100 + 40\]
\[D = 140\]

Шаг 4: Теперь, зная значение дискриминанта, мы можем определить количество корней. Если \(D > 0\), то у нас будет два корня, если \(D = 0\), то будет один корень, а если \(D < 0\), то корней не будет.

В нашем случае \(D = 140\), что больше нуля. Это значит, что у нас будет два корня.

Шаг 5: Чтобы найти значения \(x\) для этих двух корней, мы можем использовать формулу:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения в наше уравнение:

\[x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{140}}{2 \cdot 2}\]
\[x = \frac{10 \pm \sqrt{140}}{4}\]

Шаг 6: Продолжим вычисления для наших двух корней, заменяя знак "плюс" и "минус":

\[x_1 = \frac{10 + \sqrt{140}}{4}\]
\[x_2 = \frac{10 - \sqrt{140}}{4}\]

Теперь у нас есть значения \(x_1\) и \(x_2\).

Шаг 7: Чтобы найти соответствующие значения \(y\) для каждого \(x\), заменим \(x\) в уравнении параболы или прямой:

1. Используем параболу:
\[y = 2x^2\]
\[y_1 = 2(\frac{10 + \sqrt{140}}{4})^2\]
\[y_2 = 2(\frac{10 - \sqrt{140}}{4})^2\]

2. Используем прямую:
\[y = 10x + 5\]
\[y_1 = 10(\frac{10 + \sqrt{140}}{4}) + 5\]
\[y_2 = 10(\frac{10 - \sqrt{140}}{4}) + 5\]

Теперь у нас есть значения \(y_1\) и \(y_2\).

Шаг 8: Таким образом, парабола \(y=2x^2\) и прямая \(y=10x+5\) пересекаются в точках \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\), которые мы вычислили на предыдущем шаге.

Шаг 9: Окончательный ответ: Чтобы узнать сколько точек пересечения у параболы \(y=2x^2\) и прямой \(y=10x+5\), мы должны просуммировать количество вычисленных точек пересечения. В нашем случае, есть две точки, поэтому ответ: 2 точки пересечения.

Надеюсь, что это понятно и помогло вам разобраться в этой задаче! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать.