Сколько вариантов выбора игрушки у Юли, если у нее есть 7 пупсиков и 5 плюшевых медведей?

Veselyy_Pirat

59

Для решения данной задачи мы можем использовать принцип умножения. Варианты выбора игрушки у Юли складываются из возможных комбинаций выбора пупсиков и выбора плюшевых медведей.

У Юли есть 7 пупсиков и 5 плюшевых медведей. Давайте посмотрим на все возможные комбинации выбора игрушки:

1. Если Юля выбирает 1 пупсика и 0 медведей (7 способов выбрать пупсика и 1 способ выбрать медведя), то всего есть \((7 \cdot 1)=7\) вариантов.
2. Если Юля выбирает 2 пупсиков и 0 медведей (есть \({{7}\choose{2}}\) способов выбрать 2 пупсика и 1 способ выбрать медведя), то всего есть \({{7}\choose{2}}\cdot 1\) вариантов.
3. Если Юля выбирает 0 пупсиков и 1 медведя (0 способов выбрать пупсика и 5 способов выбрать медведя), то всего есть \((0 \cdot 5)=0\) вариантов.
4. Если Юля выбирает 1 пупсика и 1 медведя (7 способов выбрать пупсика и 5 способов выбрать медведя), то всего есть \((7 \cdot 5)=35\) вариантов.
5. Если Юля выбирает 2 пупсиков и 1 медведя (\({{7}\choose{2}}\) способов выбрать 2 пупсика и 5 способов выбрать медведя), то всего есть \({{7}\choose{2}}\cdot 5\) вариантов.

Продолжая аналогично, вычислим количество вариантов выбора игрушки для других комбинаций числа пупсиков и медведей:

6. 2 пупсика и 2 медведя (\({{7}\choose{2}}\) пути выбора пупсиков и \({{5}\choose{2}}\) пути выбора медведей) -- \({{7}\choose{2}}\cdot {{5}\choose{2}}\) вариантов.
7. 3 пупсика и 0 медведей -- \({{7}\choose{3}} \cdot 1\) вариантов.
8. 3 пупсика и 1 медведь -- \({{7}\choose{3}} \cdot 5\) вариантов.
9. 3 пупсика и 2 медведя -- \({{7}\choose{3}} \cdot {{5}\choose{2}}\) вариантов.
10. 3 пупсика и 3 медведя -- \({{7}\choose{3}} \cdot {{5}\choose{3}}\) вариантов.

Таким образом, суммируя все возможные варианты выбора игрушки, получаем общее количество вариантов:

\[
7 + {{7}\choose{2}} \cdot 1 + 0 + 7 \cdot 5 + {{7}\choose{2}} \cdot 5 + {{7}\choose{2}} \cdot {{5}\choose{2}} + {{7}\choose{3}} \cdot 1 + {{7}\choose{3}} \cdot 5 + {{7}\choose{3}} \cdot {{5}\choose{2}} + {{7}\choose{3}} \cdot {{5}\choose{3}}
\]

Теперь остается лишь произвести несложные вычисления, чтобы получить окончательный ответ.