Тетраэдр dabc имеет три перпендикулярных ребра, их общая вершина - d. Назовем боковыми гранями те грани, которые

Ignat_54

10

Чтобы найти суммарную площадь боковых граней тетраэдра, нам нужно вычислить площадь каждой боковой грани и затем сложить их значения.

Для начала, давайте определимся с положением ребер. Из условия задачи известно, что ребра da, db и dc перпендикулярны исходят из общей вершины d. Визуализируя тетраэдр, мы можем представить его таким образом:

\[
\begin{array}{l}
d \\
/ | \text{\textbackslash} \\
a--b--c
\end{array}
\]

Теперь, чтобы вычислить площадь каждой боковой грани, мы можем использовать формулу для площади треугольника. Формула для площади треугольника определена как половина произведения длины основания на высоту:

\[
S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}
\]

В нашем случае, основание каждой боковой грани будет являться одним из ребер тетраэдра, а высота - расстояние от этого ребра до противолежащей вершины. Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты.

Сначала вычислим площадь первой боковой грани (грани adb). Основание этой боковой грани - ребро ad, а высота - высота из вершины b.

\[S_1 = \frac{1}{2} \times ad \times h_1\]

Так как тетраэдр равносторонний, мы можем найти высоту \(h_1\) при помощи теоремы Пифагора:

\[h_1 = \sqrt{{db}^2 - \left(\frac{1}{2}ad\right)^2}\]

Учитывая, что значения da и db равны 12 и 13 соответственно, мы можем подставить их в формулы:

\[h_1 = \sqrt{{13}^2 - \left(\frac{1}{2} \cdot 12\right)^2} = \sqrt{169 - 36} = \sqrt{133}\]

Теперь мы можем вычислить площадь первой боковой грани:

\[S_1 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \sqrt{133} = 6 \sqrt{133}\]

Аналогично, для граней adc и dbc, мы можем вычислить площади следующим образом:

\[S_2 = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot \sqrt{141}\]
\[S_3 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \sqrt{125}\]

Теперь остается только сложить полученные значения площадей боковых граней:

\[S_{\text{сумм}} = S_1 + S_2 + S_3 = 6 \sqrt{133} + \frac{13}{2}\sqrt{141} + 6 \sqrt{125}\]

Результатом будет выражение, которое нельзя упростить, поэтому ответом на задачу будет:

\[S_{\text{сумм}} = 6 \sqrt{133} + \frac{13}{2}\sqrt{141} + 6 \sqrt{125}\]