В таблице представлены физические свойства графена. Используя эту информацию, найдите массу нанотрубки диаметром 1

Пеликан

14

Для решения данной задачи, мы можем использовать информацию о физических свойствах графена. В таблице представлены данные о плотности графена (\(\rho = 2{,}4 \, \text{г/см}^3\)) и средней длине связи в графене (\(d = 0{,}142 \, \text{нм}\)).

Для начала, найдем объем нанотрубки. Объем цилиндра можно вычислить по формуле:

\[V = \pi r^2 h\]

Где:
- \(V\) - объем цилиндра,
- \(\pi\) - математическая константа (\(\approx 3{,}14159\)),
- \(r\) - радиус цилиндра,
- \(h\) - высота цилиндра.

Для нашей нанотрубки, диаметр которой равен 1 нм, радиус можно выразить как половину диаметра \(r = \frac{1 \, \text{нм}}{2} = 0{,}5 \, \text{нм}\).
Высота трубки равна 1 мкм, что в нанометрах составляет \(h = 1000 \, \text{нм}\). Подставив значения в формулу для объема, получим:

\[V = 3{,}14159 \times (0{,}5 \, \text{нм})^2 \times 1000 \, \text{нм} = 785{,}4 \, \text{нм}^3\]

Теперь, для нахождения массы нанотрубки, мы будем использовать плотность графена (\(\rho\)). Масса равна произведению плотности на объем:

\[m = \rho \times V\]

Подставив значения, получим:

\[m = 2{,}4 \, \text{г/см}^3 \times 785{,}4 \, \text{нм}^3\]

Поскольку плотность задана в граммах на кубический сантиметр, а объем у нас в нанометрах, необходимо провести перевод единиц измерения. Один нанометр равен \(10^{-21}\) кубическому сантиметру:

\[m = 2{,}4 \, \text{г/см}^3 \times 785{,}4 \, \text{нм}^3 \times 10^{-21} \, \text{см}^3/\text{нм}^3\]

\(\text{см}^3\) в знаменателе и \(\text{нм}^3\) в числителе отменяются, получаем:

\[m = 2{,}4 \, \text{г} \times 785{,}4 \times 10^{-21} = 1{,}882 \times 10^{-19} \, \text{г}\]

Оценим теперь силу, необходимую для разрыва данной трубки. Сила разрыва может быть вычислена как произведение энергии связи между атомами в графене (\(E\)) на площадь поперечного сечения трубки (\(A\)). Формула для силы разрыва выглядит следующим образом:

\[F = E \times A\]

Энергия связи между атомами в графене составляет примерно 0,42 эВ (электрон-вольт).

Чтобы найти площадь поперечного сечения, нам необходимо найти радиус нанотрубки. Диаметр трубки равен 1 нм, поэтому радиус составляет \(r = \frac{1 \, \text{нм}}{2} = 0{,}5 \, \text{нм}\).

Площадь поперечного сечения цилиндра можно вычислить по формуле:

\[A = \pi r^2\]

Подставив значения, получим:

\[A = 3{,}14159 \times (0{,}5 \, \text{нм})^2\]

Вычислив площадь, можно найти силу. Подставим значение площади и энергии связи в формулу:

\[F = 0{,}42 \, \text{эВ} \times 3{,}14159 \times (0{,}5 \, \text{нм})^2\]

Обратимся к конвертеру единиц для перевода электрон-вольтов (\(\text{эВ}\)) в ньютон-метры (\(\text{Н} \cdot \text{м}\)). 1ЭВ = \(1{,}6022 \times 10^{-19} \, \text{Н} \cdot \text{м}\).

Подставляем значения и проводим необходимые операции:

\[F = 0{,}42 \, \text{эВ} \times 3{,}14159 \times (0{,}5 \, \text{нм})^2 \times (1{,}6022 \times 10^{-19} \, \text{Н} \cdot \text{м})/\text{эВ}\]

\(\text{эВ}\) в знаменателе и в числителе отменяются, получаем:

\[F = 0{,}42 \times 3{,}14159 \times (0{,}5 \, \text{нм})^2 \times 1{,}6022 \times 10^{-19} \, \text{Н} \cdot \text{м}\]

Вычислим эту формулу:

\[F \approx 1{,}6667 \times 10^{-20} \, \text{Н} \cdot \text{м}\]

Таким образом, масса нанотрубки диаметром 1 нм и длиной 1 мкм составляет примерно \(1{,}882 \times 10^{-19} \, \text{г}\), а сила, необходимая для разрыва данной трубки, примерно равна \(1{,}6667 \times 10^{-20} \, \text{Н} \cdot \text{м}\).