Вам потрібно довести, що многочлен x3-2x2-2x+3 є кратним многочлену x2-x-3

Денис

49

Для того чтобы доказать, что многочлен \(x^3 - 2x^2 - 2x + 3\) является кратным многочлену \(x^2 - x - 3\), нам нужно установить, что многочлен \(x^2 - x - 3\) является его делителем без остатка. Давайте разберемся с этим.

Для начала, найдем возможные корни многочлена \(x^2 - x - 3\). Мы можем воспользоваться формулой Квадратного корня, чтобы найти корни этого уравнения. Формула Квадратного корня гласит:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В нашем случае, коэффициенты \(a = 1\), \(b = -1\), и \(c = -3\). Подставив их в формулу, получим:

\[x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)}\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}\]

Итак, корни многочлена \(x^2 - x - 3\) равны \(\frac{1 + \sqrt{13}}{2}\) и \(\frac{1 - \sqrt{13}}{2}\).

Теперь найдем значение многочлена \(x^3 - 2x^2 - 2x + 3\) в этих корнях. Подставим каждый корень по очереди и проверим, будет ли результат равен нулю.

Подставим \(\frac{1 + \sqrt{13}}{2}\):

\[\left(\frac{1 + \sqrt{13}}{2}\right)^3 - 2\left(\frac{1 + \sqrt{13}}{2}\right)^2 - 2\left(\frac{1 + \sqrt{13}}{2}\right) + 3\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[\frac{-9 + 3\sqrt{13}}{2} = -\frac{9}{2} + \frac{3\sqrt{13}}{2}\]

Результат не равен нулю.

Теперь подставим \(\frac{1 - \sqrt{13}}{2}\):

\[\left(\frac{1 - \sqrt{13}}{2}\right)^3 - 2\left(\frac{1 - \sqrt{13}}{2}\right)^2 - 2\left(\frac{1 - \sqrt{13}}{2}\right) + 3\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[\frac{-9 - 3\sqrt{13}}{2} = -\frac{9}{2} - \frac{3\sqrt{13}}{2}\]

И этот результат также не равен нулю.

Таким образом, мы можем заключить, что многочлен \(x^3 - 2x^2 - 2x + 3\) не является кратным многочлену \(x^2 - x - 3\), так как он не имеет корней, которые являлись бы корнями многочлена \(x^2 - x - 3\) без остатка.