Вам потрібно довести, що многочлен x3-2x2-2x+3 є кратним многочлену x2-x-3

Денис

49

Для того чтобы доказать, что многочлен $x^3-2x^2-2x+3$ является кратным многочлену $x^2-x-3$, нам нужно установить, что многочлен $x^2-x-3$ является его делителем без остатка. Давайте разберемся с этим.

Для начала, найдем возможные корни многочлена $x^2-x-3$. Мы можем воспользоваться формулой Квадратного корня, чтобы найти корни этого уравнения. Формула Квадратного корня гласит:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

В нашем случае, коэффициенты $a=1$, $b=-1$, и $c=-3$. Подставив их в формулу, получим:

$$x=\frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1{)}^2-4(1)(-3)}}{2(1)}$$

Выполняя вычисления, получаем:

$$x=\frac{1\pm \sqrt{1+12}}{2}=\frac{1\pm \sqrt{13}}{2}$$

Итак, корни многочлена $x^2-x-3$ равны $\frac{1+\sqrt{13}}{2}$ и $\frac{1-\sqrt{13}}{2}$.

Теперь найдем значение многочлена $x^3-2x^2-2x+3$ в этих корнях. Подставим каждый корень по очереди и проверим, будет ли результат равен нулю.

Подставим $\frac{1+\sqrt{13}}{2}$:

$${\left(\frac{1+\sqrt{13}}{2}\right)}^3-2{\left(\frac{1+\sqrt{13}}{2}\right)}^2-2\left(\frac{1+\sqrt{13}}{2}\right)+3$$

Выполняя вычисления, получаем:

$$\frac{-9+3\sqrt{13}}{2}=-\frac{9}{2}+\frac{3\sqrt{13}}{2}$$

Результат не равен нулю.

Теперь подставим $\frac{1-\sqrt{13}}{2}$:

$${\left(\frac{1-\sqrt{13}}{2}\right)}^3-2{\left(\frac{1-\sqrt{13}}{2}\right)}^2-2\left(\frac{1-\sqrt{13}}{2}\right)+3$$

Выполняя вычисления, получаем:

$$\frac{-9-3\sqrt{13}}{2}=-\frac{9}{2}-\frac{3\sqrt{13}}{2}$$

И этот результат также не равен нулю.

Таким образом, мы можем заключить, что многочлен $x^3-2x^2-2x+3$ не является кратным многочлену $x^2-x-3$, так как он не имеет корней, которые являлись бы корнями многочлена $x^2-x-3$ без остатка.