Вариант 3 1. Представьте следующие выражения в виде произведения множителей: 1) 1 000m - n; 3) -8х2 - 16xy- 8y

Морской_Шторм

42

Конечно! Начнем с первого вопроса.

1) Чтобы представить выражение \(1 000m - n\) в виде произведения множителей, мы должны разложить каждое слагаемое на простые множители. Выражение может быть представлено следующим образом: \[1 000m - n = (10 \cdot 100 \cdot m) - n = 10 \cdot 100 \cdot m - 1 \cdot n\]

2) Теперь представим выражение \(81a - ab^2\) в виде произведения множителей: \[81a - ab^2 = a \cdot (81 - b^2) = a \cdot (9^2 - b^2) = a \cdot (9 + b)(9 - b)\]

3) Для выражения \(-8x^2 - 16xy - 8y\) представим его в виде произведения множителей: \[-8x^2 - 16xy - 8y = -8(x^2 + 2xy + y) = -8(x + y)^2\]

4) Для выражения \(Smn + 15m - 10n - 30\) представим его в виде произведения множителей: \[Smn + 15m - 10n - 30 = m(Sn + 15) - 10(n + 3) = m(Sn + 15) - 10(n + 3)\]

5) Выражение \(256 - b\) является уже представленным в виде произведения множителей, поскольку оно не может быть дальше упрощено.

Перейдем к следующему вопросу.

2. Упростите выражение \((iu - 5)(y + 5) - (y + 2)(u^2 - 2y + 4)\).

Для упрощения данного выражения требуется раскрыть скобки и сгруппировать подобные слагаемые:

\begin{align*}
&(iu - 5)(y + 5) - (y + 2)(u^2 - 2y + 4) \\
=& iuy + 5iu - 5y - 25 - (yu^2 - 2y^2 + 4y + 2u^2 - 4y + 8) \\
=& iuy + 5iu - 5y - 25 - yu^2 + 2y^2 - 4y - 2u^2 + 4y - 8 \\
=& iuy - yu^2 + 2y^2 + 5iu - 2u^2 - 25 - 8 \\
=& iuy - yu^2 + 2y^2 + 5iu - 2u^2 - 33
\end{align*}

Приступим к разложению следующих выражений на множители.

3. Разложим выражение \(a^2 - 36b^2 + a - 6b\) на множители.

Сначала определим, можно ли применить квадрат разности к первым двум слагаемым: \(a^2 - 36b^2 = (a + 6b)(a - 6b)\).

Далее выделим общий множитель в оставшейся части: \(a^2 - 36b^2 + a - 6b = (a + 1)(a - 6b) - 6(b - 1)(a - 6b)\).

Теперь у нас есть разложение в виде произведения множителей: \(a^2 - 36b^2 + a - 6b = (a + 6b)(a - 6b) - 6(b - 1)(a - 6b)\).

4. Разложим выражение \(25x^2 - 10xy + y^2 - 9\) на множители.

Попробуем применить квадрат разности к первым и третьем слагаемым: \(25x^2 - 10xy + y^2 - 9 = (5x - y)(5x + y) - 3^2\).

Мы получили разложение в виде произведения множителей: \(25x^2 - 10xy + y^2 - 9 = (5x - y)(5x + y) - 3^2\).

5. Разложим выражение \(4 - m^2 + 14mn - 49n^2\) на множители.

Нам нужно применить квадрат разности к первым и последним слагаемым: \(4 - m^2 + 14mn - 49n^2 = (2 - m - 7n)(2 + m + 7n)\).

Таким образом, имеем разложение в виде произведения множителей: \(4 - m^2 + 14mn - 49n^2 = (2 - m - 7n)(2 + m + 7n)\).

Перейдем к следующему вопросу.

4. Решим следующие уравнения:

1) \(2x - 32x = 0\)

Для начала, приведем подобные слагаемые: \(2x - 32x = -30x\).

Теперь уравнение примет вид: \(-30x = 0\).

Чтобы решить это уравнение, мы делим обе стороны на -30: \(x = 0\).

2) \(81x^3 + 18x^2 + x = 0\)

Здесь у нас есть кубическое уравнение, и мы должны попытаться его разложить на множители или использовать другие методы для его решения.

Третье уравнение не содержит значения для \(x\), поэтому его можно сразу сократить: \(3x^2 - 1\).

\(3x^2 - 1 = 0\).

Далее решаем уравнение: \(x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}\).

5. Докажем, что значение выражения \(29 + 103\) является кратным 18.

Для доказательства того, что значение выражения является кратным 18, мы должны показать, что оно делится на 18 без остатка.

\(29 + 103 = 132\), и мы видим, что 132 делится на 18 без остатка (18 * 7 = 126).

Таким образом, значение выражения 29 + 103 является кратным 18.

6. Теперь найдем значение выражения \(a^2 - b^2\), где \(a - b = 10\) и \(ab = 7\).

Мы можем использовать формулу разности квадратов для нахождения значения данного выражения: \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\).

Подставим значения \(a - b = 10\) и \(ab = 7\) в формулу:

\[
a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) = (a + b)(10)
\]

Заметим, что нам дано значение \(a - b\) (10), а не \(a + b\). Чтобы решить эту проблему, используем второе уравнение и найдем значение \(a + b\):

\[
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 100
\]

\[
a^2 - 2ab + b^2 = 100
\]

\[
a^2 + 2ab + b^2 = 100 + 4ab
\]

\[
(a + b)^2 = 100 + 4ab
\]

Теперь мы можем выразить \(a + b\):

\[
a + b = \sqrt{100 + 4ab}
\]

\[
a + b = \sqrt{100 + 4 \cdot 7}
\]

\[
a + b = \sqrt{128}
\]

\[
a + b = 8\sqrt{2}
\]

Таким образом, значение выражения \(a^2 - b^2\) равно:

\[
(a^2 - b^2) = (a + b)(10) = (8\sqrt{2})(10) = 80\sqrt{2}
\]