What are the first and third numbers in an arithmetic progression if the average number is 4.8 and the first number

Лунный_Свет

62

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать информацию о том, что среднее значение равно 4,8 и первое число в арифметической прогрессии в 5 раз больше третьего числа.

Пусть третье число в арифметической прогрессии будет равно \(x\).

Тогда первое число будет равно \(5x\) (по условию оно в 5 раз больше третьего числа).

Также нам известно, что среднее значение равно 4,8. Мы можем использовать это для нахождения второго числа в прогрессии.

Среднее значение в арифметической прогрессии можно найти по формуле:
\[ \text{среднее значение} = \frac{\text{первое число} + \text{второе число} + \text{третье число}}{3} \]

Подставим значения и решим уравнение:
\[ 4,8 = \frac{5x + \text{второе число} + x}{3} \]

Упростим это уравнение:
\[ 14,4 = 6x + \text{второе число} \]

Мы также знаем, что в арифметической прогрессии разность между любыми двумя последовательными числами одна и та же. Мы можем использовать эту информацию для нахождения второго числа.

Разность (d) между любыми двумя последовательными числами в арифметической прогрессии можно найти по формуле:
\[ d = \frac{\text{первое число} - \text{третье число}}{2} \]

Подставим значения и решим уравнение:
\[ d = \frac{5x - x}{2} = 2x \]

Теперь у нас есть два уравнения:
\[ 14,4 = 6x + \text{второе число} \]
\[ d = 2x \]

Мы видим, что первое уравнение содержит второе число, которое мы не знаем. Чтобы решить эту проблему, мы можем выразить второе число через \(d\) и \(x\) и подставить его уравнение:
\[ 14,4 = 6x + 2x \cdot d \]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(x\):
\[ 14,4 = 6x + 2x \cdot 2x \]
\[ 14,4 = 6x + 4x^2 \]

Приведем его к квадратному уравнению и решим его:
\[ 4x^2 + 6x - 14,4 = 0 \]

Мы найдем корни этого квадратного уравнения и проверим, какой из них удовлетворяет условию задачи.

Я найду значения \(x\) числами в плюс и минус, чтобы убедиться, что ни одно из корней не отрицательное число.

\[x_1 = \frac{-6 + \sqrt{6^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-14,4)}}{2 \cdot 4}\]
\[x_2 = \frac{-6 - \sqrt{6^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-14,4)}}{2 \cdot 4}\]

После подстановки корней \(x\) обратно в уравнение \(14,4 = 6x + 4x^2\), мы найдем второе число и первое число, так как мы знаем, что первое число равно \(5x\).

Таким образом, решение этой задачи требует решения квадратного уравнения и последующей проверки корней на соответствие условию задачи.