What is the equivalent expression of (sin6a-sin4a+sin2a)/4cos3acos2a?

Raduzhnyy_Mir

51

Чтобы упростить данное выражение, мы можем воспользоваться формулой для разности синусов: \(\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y\).

Используя эту формулу, мы можем преобразовать числитель выражения:
\[
\begin{aligned}
\sin 6a - \sin 4a + \sin 2a &= \sin (3a + 3a) - \sin (2a + 2a) + \sin (2a) \\
&=(\sin 3a \cos 3a - \cos 3a \sin 3a) - (\sin 2a \cos 2a - \cos 2a \sin 2a) + \sin 2a \\
&= 0 - 0 + \sin 2a \\
&= \sin 2a.
\end{aligned}
\]

Теперь приведем знаменатель к более простому виду. Для этого воспользуемся формулой для произведения косинусов: \(\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y\).

Преобразуем выражение \(\cos^3 a \cos 2a\) в знаменателе:
\[
\begin{aligned}
\cos^3 a \cos 2a &= (\cos a \cos a \cos a) \cos 2a \\
&= (\cos a \cos a)(\cos a \cos 2a) \\
&= (\cos a \cos a)(\cos (a + a)) \\
&= (\cos a \cos a)(\cos^2 a - \sin^2 a) \\
&= (\cos a \cos a)(\cos^2 a - (1 - \cos^2 a)) \\
&= (\cos a \cos a)(2\cos^2 a - 1).
\end{aligned}
\]

Теперь мы можем записать полностью упрощенное выражение:
\[
\frac{\sin 2a}{4\cos^3 a \cos 2a} = \frac{\sin 2a}{4(\cos a \cos a)(2\cos^2 a - 1)}.
\]

Таким образом, эквивалентное выражение для \((\sin 6a - \sin 4a + \sin 2a)/(4\cos^3 a \cos 2a)\) равно \(\frac{\sin 2a}{4(\cos a \cos a)(2\cos^2 a - 1)}\).