Яка довжина відрізка MD, якщо позначено точку M на стороні BC квадрата ABCD і кут DAM дорівнює 60°, а довжина сторони

Лесной_Дух

10

Добрый день! Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать геометрические свойства и тригонометрию. Давайте разберемся.

Первым шагом давайте определимся с обозначениями. Пусть сторона квадрата ABCD равна \(a\), а точка M находится на стороне BC. Давайте обозначим длину отрезка MD через \(x\).

Теперь давайте построим несколько дополнительных линий и углов, чтобы нагляднее представить себе ситуацию. Построим перпендикуляр из точки M на сторону AD и обозначим точку пересечения этой линии с AD через P.

Так как квадрат ABCD является прямоугольным, то по свойству прямоугольника, сторона AD будет параллельна стороне BC.

Также, так как DAC и DAM образуют прямой угол, то треугольники DAC и DAM подобны. То есть, соотношение сторон в этих треугольниках будет одинаковое.

Рассмотрим треугольник DAC. Он прямоугольный и имеет угол D равный 90°, угол A равный 45° (поскольку ABCD - квадрат) и угол C равный 45°. Так как угол M равен 60°, то угол MAD будет равен 30°.

Теперь давайте использовать тригонометрию для нахождения значения x. В треугольнике MAD, мы можем применить теорему синусов:

\[
\frac{{MD}}{{\sin MAD}} = \frac{{AD}}{{\sin MDA}}
\]

Заменяя значения:

\[
\frac{{x}}{{\sin 30°}} = \frac{{a}}{{\sin 60°}}
\]

Теперь решим эту пропорцию для x:

\[
x = \frac{{\sin 30°}}{{\sin 60°}} \cdot a
\]

Так как \(\sin 30° = \frac{1}{2}\) и \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\), подставим значения и упростим:

\[
x = \frac{{\frac{1}{2}}}{{\frac{\sqrt{3}}{2}}} \cdot a = \frac{{1}}{{\sqrt{3}}} \cdot a = \frac{{a}}{{\sqrt{3}}}
\]

Итак, длина отрезка MD равна \(\frac{{a}}{{\sqrt{3}}}\).

Надеюсь, это пошаговое решение помогло вам понять задачу! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.