Яка сума перших п яти членів геометричної прогресії з b2 = 4, b3

Strekoza

30

Для решения данной задачи нам необходимо использовать формулу для суммы первых n членов геометрической прогрессии, где первый член обозначим как \(b_1\), знаменатель прогрессии обозначим как q, а количество членов обозначим как n. Формула выглядит следующим образом:

\[S_n = \frac{{b_1(q^n - 1)}}{{q - 1}}\]

Теперь давайте искать значения, указанные в задаче. У нас есть информация о том, что \(b_2 = 4\) и \(b_3 = ?\). Так как это геометрическая прогрессия, мы можем использовать это для определения её характеристик.

Первым шагом найдем знаменатель прогрессии \(q\). Для этого найдем отношение между вторым и первым членами прогрессии:

\[q = \frac{{b_2}}{{b_1}} = \frac{{4}}{{b_1}}\]

Теперь мы можем использовать данное нам значение \(b_2\), чтобы найти \(b_1\), используя формулу прогрессии. У нас есть информация о том, что \(b_2 = 4\), поэтому мы можем вставить эти значения в формулу:

\[4 = b_1 \cdot \left(\frac{{4}}{{b_1}}\right)\]

Упростим это выражение, умножив \(b_1\) на выражение в скобках:

\[4 = 4\]

Это означает, что \(b_1\) равно 1.

Теперь у нас есть все значения, которые нам нужны, чтобы использовать формулу для нахождения суммы первых пяти членов прогрессии. Определим значения: \(b_1 = 1\), \(q = \frac{4}{1} = 4\) и \(n = 5\).

\[S_5 = \frac{{1 \cdot (4^5 - 1)}}{{4 - 1}}\]

Выполнив вычисления, получим:

\[S_5 = \frac{{1 \cdot (1024 - 1)}}{{3}} = \frac{{1023}}{{3}} = 341\]

Таким образом, сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 341.