Які сторони прямокутника, якщо його діагональ дорівнює 13 см, а висота на 14 см більша за основу?

Ястребка

10

Чтобы найти стороны прямоугольника по заданным условиям, воспользуемся известными свойствами прямоугольника.

Предположим, что стороны прямоугольника имеют длины \(x\) и \(y\) (где \(x\) - основа, \(y\) - высота).

Мы знаем, что диагональ прямоугольника является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного его сторонами. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов (сторон прямоугольника) равна квадрату гипотенузы (диагонали).

Теперь мы можем составить уравнение на основе заданных условий:

\[x^2 + y^2 = 13^2\]

Также нам сказано, что высота на 14 см больше основы:

\[y = x + 14\]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[\begin{align*}
x^2 + y^2 &= 13^2 \\
y &= x + 14
\end{align*}\]

Решим эту систему пошагово:

1. Подставим выражение \(y = x + 14\) в первое уравнение:

\[x^2 + (x + 14)^2 = 13^2\]

2. Раскроем квадрат во втором слагаемом:

\[x^2 + (x^2 + 28x + 14^2) = 13^2\]

3. Сгруппируем все слагаемые и упростим уравнение:

\[2x^2 + 28x + 14^2 = 13^2\]

4. Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

\[2x^2 + 28x + 14^2 - 13^2 = 0\]

5. Вычислим значения \(14^2\) и \(13^2\):

\[2x^2 + 28x + 196 - 169 = 0\]

6. Упростим уравнение:

\[2x^2 + 28x + 27 = 0\]

7. Найдем корни квадратного уравнения. Мы можем воспользоваться формулой для нахождения корней:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

где \(a = 2\), \(b = 28\), \(c = 27\).

8. Подставим значения в формулу:

\[x = \frac{-28 \pm \sqrt{28^2 - 4 \cdot 2 \cdot 27}}{2 \cdot 2}\]

9. Выполним вычисления:

\[x = \frac{-28 \pm \sqrt{784 - 216}}{4}\]

\[x = \frac{-28 \pm \sqrt{568}}{4}\]

10. Теперь найдем значения \(x\):

\[x_1 = \frac{-28 + \sqrt{568}}{4}\]

\[x_2 = \frac{-28 - \sqrt{568}}{4}\]

11. Продолжим с численными вычислениями:

\[x_1 = \frac{-28 + \sqrt{568}}{4} \approx 3.05\]

\[x_2 = \frac{-28 - \sqrt{568}}{4} \approx -7.55\]

12. Мы можем отбросить отрицательное значение \(x_2\), так как стороны прямоугольника не могут быть отрицательными.

13. Таким образом, основа прямоугольника \(x = 3.05\) см.

14. Теперь, учитывая, что высота равна \(y = x + 14\), вычислим высоту:

\[y = 3.05 + 14 \approx 17.05\]

15. Получаем, что стороны прямоугольника равны приблизительно 3.05 см (основа) и 17.05 см (высота).