Які три додатні числа утворюють арифметичну прогресію з сумою 12? Якщо до них додати 1, 2, 6 відповідно, то отримані

Lunnyy_Renegat

30

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть первое число в арифметической прогрессии будет \(a\), а разность между числами в этой прогрессии будет \(d\). Тогда второе число будет \(a + d\), а третье число будет \(a + 2d\).

Мы знаем, что сумма всех трех чисел равна 12:

\[a + (a + d) + (a + 2d) = 12\]

Упростим это уравнение:

\[3a + 3d = 12\]

Разделим это уравнение на 3, чтобы получить:

\[a + d = 4\]

Теперь мы знаем, что сумма первых трех чисел в арифметической прогрессии равна 4.

Если к первому числу добавить 1, ко второму числу добавить 2, а к третьему числу добавить 6, то получим числа, которые образуют геометрическую прогрессию.

Теперь найдем эти числа в геометрической прогрессии. Пусть первое число этой прогрессии будет \(b\), а знаменатель прогрессии будет \(r\). Тогда второе число будет \(b \cdot r\), а третье число будет \(b \cdot r^2\).

Мы знаем, что:

\[a + 1 = b\]
\[a + d + 2 = b \cdot r\]
\[a + 2d + 6 = b \cdot r^2\]

Мы уже знаем, что \(a + d = 4\), поэтому можем заменить его во втором уравнении:

\[4 + 2 = b \cdot r\]
\[6 = b \cdot r\]

Также мы знаем, что \(a + 2d = 6\), поэтому можем заменить его в третьем уравнении:

\[4 + 6 = b \cdot r^2\]
\[10 = b \cdot r^2\]

Теперь мы имеем два уравнения:

\[6 = b \cdot r\]
\[10 = b \cdot r^2\]

Разделим эти два уравнения друг на друга:

\[\frac{10}{6} = \frac{b \cdot r^2}{b \cdot r}\]

Упростим и сократим:

\[\frac{5}{3} = r\]

Теперь подставим значение \(r\) в уравнение \(6 = b \cdot r\):

\[6 = b \cdot \frac{5}{3}\]

Умножим обе части уравнения на \(\frac{3}{5}\), чтобы избавиться от дроби:

\[b = \frac{18}{5}\]

Таким образом, мы нашли значения первого числа \(b\) и знаменателя прогрессии \(r\) в геометрической прогрессии. Теперь мы можем найти первое число \(a\) и разность \(d\) в арифметической прогрессии, используя уравнение \(a + d = 4\):

\[a = 4 - d\]

Подставим значение \(a\) в уравнение \(a + d = 4\):

\[4 - d + d = 4\]

Упростим:

\[4 = 4\]

Это уравнение верно для любого значения \(d\). Итак, значение разности \(d\) может быть любым.

Таким образом, мы нашли ответ: для данной задачи существует бесконечное количество троек додатніх чисел, утворяющих арифметическую прогрессию с сумой 12.