Яким буде дріб, якщо до чисельника додати 1, а до знаменника додати 10, якщо знаменник звичайного нескоротного дробу

Magiya_Morya

20

Давайте посмотрим на задачу более подробно:

Предположим, что исходная дробь - \(\frac{a}{b}\). Задача говорит нам, что если мы к числителю (а) добавим 1, а к знаменателю (b) добавим 10, получим новую дробь.

Также говорится, что знаменатель новой дроби будет на 2 больше числителя новой дроби, и новая дробь будет меньше исходной дроби на \(\frac{1}{3}\).

Давайте начнем с первого условия. Если мы к числителю добавим 1, а к знаменателю добавим 10, то новая дробь будет \(\frac{a+1}{b+10}\).

Теперь у нас есть второе условие - знаменатель новой дроби будет на 2 больше числителя новой дроби. Запишем это уравнение:

\[b + 10 = 2(a + 1)\]

Теперь перейдем к третьему условию - новая дробь будет меньше исходной дроби на \(\frac{1}{3}\):

\[\frac{a+1}{b+10} = \frac{a}{b} - \frac{1}{3}\]

Давайте разберем математическими операциями уравнение:

\[\frac{a+1}{b+10} - \frac{a}{b} = -\frac{1}{3}\]

Для упрощения, мы можем привести обе дроби к общему знаменателю:

\[\frac{(a+1)b - a(b+10)}{(b+10)b} = -\frac{1}{3}\]

Упростим числитель:

\[(ab+b-a-10a)/(b+10)b = -\frac{1}{3}\]

\[(-9a+b)/(b+10)b = -\frac{1}{3}\]

Теперь, используя второе условие, заменим \(b\) на \(2(a+1)\):

\[\frac{(-9a+b)}{(2(a+1)+10)(2(a+1))} = -\frac{1}{3}\]

Упростим знаменатель:

\[\frac{(-9a+b)}{(2a+2+10)(2a+2)} = -\frac{1}{3}\]

\[\frac{(-9a+b)}{(2a+12)(2a+2)} = -\frac{1}{3}\]

Теперь давайте решим это уравнение:

\[-9a + b = -\frac{(2a+12)(2a+2)}{3}\]

Подставляя \(b = 2(a+1)\):

\[-9a + 2(a+1) = -\frac{(2a+12)(2a+2)}{3}\]

\[-9a + 2a + 2 = -\frac{(2a+12)(2a+2)}{3}\]

\[-7a + 2 = -\frac{(2a+12)(2a+2)}{3}\]

Теперь давайте решим эту квадратное уравнение:

\[-7a + 2 = -\frac{4a^2 + 28a +24}{3}\]

Умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от дроби:

\[-21a + 6 = -4a^2 - 28a - 24\]

Соберем все слагаемые на одной стороне:

\[4a^2 - 7a - 30 = 0\]

Факторизуем это квадратное уравнение:

\[(4a + 5)(a - 6) = 0\]

Так как у нас есть произведение двух множителей, равное нулю, то мы можем предположить, что каждый из множителей равен нулю:

\[\begin{cases} 4a + 5 = 0\\ a - 6 = 0 \end{cases}\]

Решая эти уравнения, мы получаем два значения для \(a\):

\[a_1 = -\frac{5}{4}\]

\[a_2 = 6\]

Теперь, чтобы найти соответствующие значения для \(b\), мы можем использовать второе условие:

\[b = 2(a+1)\]

Для \(a_1 = -\frac{5}{4}\):

\[b_1 = 2\left(-\frac{5}{4}+1\right) = 2\left(-\frac{5+4}{4}\right) = 2\left(-\frac{9}{4}\right) = -\frac{9}{2}\]

Для \(a_2 = 6\):

\[b_2 = 2(6+1) = 2(7) = 14\]

Таким образом, получаем две дроби:

Первая дробь: \(\frac{a_1}{b_1} = \frac{-\frac{5}{4}}{-\frac{9}{2}} = \frac{5}{9}\)

Вторая дробь: \(\frac{a_2}{b_2} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}\)

Итак, ответ на эту задачу - есть две дроби: \(\frac{5}{9}\) и \(\frac{3}{7}\).