Яким буде дріб, якщо до чисельника додати 1, а до знаменника додати 10, якщо знаменник звичайного нескоротного дробу

Magiya_Morya

20

Давайте посмотрим на задачу более подробно:

Предположим, что исходная дробь - $\frac{a}{b}$. Задача говорит нам, что если мы к числителю (а) добавим 1, а к знаменателю (b) добавим 10, получим новую дробь.

Также говорится, что знаменатель новой дроби будет на 2 больше числителя новой дроби, и новая дробь будет меньше исходной дроби на $\frac{1}{3}$.

Давайте начнем с первого условия. Если мы к числителю добавим 1, а к знаменателю добавим 10, то новая дробь будет $\frac{a+1}{b+10}$.

Теперь у нас есть второе условие - знаменатель новой дроби будет на 2 больше числителя новой дроби. Запишем это уравнение:

$$b+10=2(a+1)$$

Теперь перейдем к третьему условию - новая дробь будет меньше исходной дроби на $\frac{1}{3}$:

$$\frac{a+1}{b+10}=\frac{a}{b}-\frac{1}{3}$$

Давайте разберем математическими операциями уравнение:

$$\frac{a+1}{b+10}-\frac{a}{b}=-\frac{1}{3}$$

Для упрощения, мы можем привести обе дроби к общему знаменателю:

$$\frac{(a+1)b-a(b+10)}{(b+10)b}=-\frac{1}{3}$$

Упростим числитель:

$$(ab+b-a-10a)/(b+10)b=-\frac{1}{3}$$

$$(-9a+b)/(b+10)b=-\frac{1}{3}$$

Теперь, используя второе условие, заменим $b$ на $2(a+1)$:

$$\frac{(-9a+b)}{(2(a+1)+10)(2(a+1))}=-\frac{1}{3}$$

Упростим знаменатель:

$$\frac{(-9a+b)}{(2a+2+10)(2a+2)}=-\frac{1}{3}$$

$$\frac{(-9a+b)}{(2a+12)(2a+2)}=-\frac{1}{3}$$

Теперь давайте решим это уравнение:

$$-9a+b=-\frac{(2a+12)(2a+2)}{3}$$

Подставляя $b=2(a+1)$:

$$-9a+2(a+1)=-\frac{(2a+12)(2a+2)}{3}$$

$$-9a+2a+2=-\frac{(2a+12)(2a+2)}{3}$$

$$-7a+2=-\frac{(2a+12)(2a+2)}{3}$$

Теперь давайте решим эту квадратное уравнение:

$$-7a+2=-\frac{4a^2+28a+24}{3}$$

Умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от дроби:

$$-21a+6=-4a^2-28a-24$$

Соберем все слагаемые на одной стороне:

$$4a^2-7a-30=0$$

Факторизуем это квадратное уравнение:

$$(4a+5)(a-6)=0$$

Так как у нас есть произведение двух множителей, равное нулю, то мы можем предположить, что каждый из множителей равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}4a+5=0\\ a-6=0\end{array}$$

Решая эти уравнения, мы получаем два значения для $a$:

$$a_1=-\frac{5}{4}$$

$$a_2=6$$

Теперь, чтобы найти соответствующие значения для $b$, мы можем использовать второе условие:

$$b=2(a+1)$$

Для $a_1=-\frac{5}{4}$:

$$b_1=2(-\frac{5}{4}+1)=2(-\frac{5+4}{4})=2(-\frac{9}{4})=-\frac{9}{2}$$

Для $a_2=6$:

$$b_2=2(6+1)=2(7)=14$$

Таким образом, получаем две дроби:

Первая дробь: $\frac{a_1}{b_1}=\frac{-\frac{5}{4}}{-\frac{9}{2}}=\frac{5}{9}$

Вторая дробь: $\frac{a_2}{b_2}=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}$

Итак, ответ на эту задачу - есть две дроби: $\frac{5}{9}$ и $\frac{3}{7}$.