Яким може бути найменше значення виразу 1/x+1/y, якщо x і y - додатні числа і x+y=5?

Пушистый_Дракончик

65

Да, конечно! Давайте решим эту задачу.

Мы знаем, что \(x\) и \(y\) - положительные числа и их сумма равна 5. Нам нужно найти минимальное значение выражения \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\).

Для начала, сделаем следующие предположения:

Предположение 1: Если \(x\) и \(y\) равны, то выражение \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) будет минимальным. Для простоты обозначим это значение как \(m\).

Предположение 2: Если \(x\) и \(y\) не равны, то одно из чисел должно быть больше другого. Пусть \(x > y\).

Сейчас давайте построим уравнение на основе предположения 2.

У нас есть два уравнения:

\[
\begin{align*}
x + y &= 5 \quad \text{(условие задачи)} \\
x - y &= d \quad \text{(предположение 2)}
\end{align*}
\]

где \(d\) - разность между \(x\) и \(y\).

Теперь сложим эти два уравнения, чтобы исключить переменную \(y\):

\[
2x = 5 + d \quad \text{(сумма двух уравнений)}
\]

Отсюда мы получаем:

\[
x = \frac{5 + d}{2}
\]

Теперь зная значение \(x\), можем подставить его в уравнение \(x + y = 5\), чтобы выразить \(y\):

\[
\frac{5 + d}{2} + y = 5
\]

Выразим \(y\):

\[
y = 5 - \frac{5 + d}{2} = \frac{5 - d}{2}
\]

Теперь заменим \(x\) и \(y\) в выражении \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\):

\[
\frac{1}{\frac{5 + d}{2}} + \frac{1}{\frac{5 - d}{2}} = \frac{2}{5 + d} + \frac{2}{5 - d}
\]

Наша задача - найти минимальное значение этого выражения.

Мы заметим, что значение этого выражения будет минимальным, когда знаменатели \((5 + d)\) и \((5 - d)\) будут максимальными. Из одного известного нам факта математики, мы знаем, что сумма двух чисел достигает максимума, когда они равны.

Таким образом, для максимально возможного значения знаменателей, \(5 + d\) и \(5 - d\) должны быть равными. Поэтому:

\[
5 + d = 5 - d
\]

Решим это уравнение:

\[
2d = 0 \implies d = 0
\]

Таким образом, когда \(d = 0\), \(x\) и \(y\) должны быть равными, что подтверждает предположение 1. Таким образом, минимальное значение возможно только если \(x = y\).

Подставляя \(x = y\) снова в уравнение \(x + y = 5\), мы получаем:

\[
2x = 5 \implies x = \frac{5}{2}
\]

Таким образом, минимальное значение выражения \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) будет достигнуто при \(x = y = \frac{5}{2}\).

Подставим \(x = y = \frac{5}{2}\) в исходное выражение:

\[
\frac{1}{\frac{5}{2}} + \frac{1}{\frac{5}{2}} = \frac{2}{5} + \frac{2}{5} = \frac{4}{5}
\]

Таким образом, минимальное значение выражение \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) равно \(\frac{4}{5}\).

Надеюсь, это разъясняет решение задачи. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!