Якою є площа осьового перерізу циліндра, якщо діагональ цього перерізу дорівнює 13 см, а радіус основи циліндра більший

Svetlyachok

65

Добро пожаловать! Давайте решим эту задачу.

Пусть радиус основы цилиндра будет обозначен как \(r\), а высота цилиндра - как \(h\). По условию задачи, радиус основы цилиндра больше высоты на 1 см, поэтому можно записать следующее:

\[r = h + 1\]

Теперь, нам необходимо найти площадь осевого перерезу цилиндра. Для этого нам понадобится знать диагональ этого перерезу. По теореме Пифагора, мы можем выразить диагональ в зависимости от радиуса и высоты следующим образом:

\[d = \sqrt{r^2 + h^2}\]

Теперь, подставляя значение радиуса из первого уравнения, мы можем получить уравнение для диагонали:

\[d = \sqrt{(h+1)^2 + h^2}\]

Но по условию задачи, диагональ равна 13 см, поэтому мы можем составить следующее уравнение:

\[13 = \sqrt{(h+1)^2 + h^2}\]

Теперь, возведем это уравнение в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[169 = (h+1)^2 + h^2\]

Раскроем скобки:

\[169 = h^2 + 2h + 1 + h^2\]

Сократим слагаемые:

\[169 = 2h^2 + 2h + 1\]

Теперь, приведем уравнение к квадратному виду:

\[2h^2 + 2h + (1-169) = 0\]

\[2h^2 + 2h - 168 = 0\]

Теперь, нам нужно решить это квадратное уравнение, чтобы найти значение высоты цилиндра. Найдем дискриминант и воспользуемся формулой квадратного корня:

\[D = b^2 - 4ac\]

\[D = (2)^2 - 4(2)(-168)\]

\[D = 4 + 1344\]

\[D = 1348\]

Теперь, найдем значения высоты цилиндра с использованием формулы:

\[h = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[h = \frac{-2 \pm \sqrt{1348}}{4}\]

\[h = \frac{-2 \pm \sqrt{2*2*337}}{4}\]

\[h = \frac{-2 \pm 2\sqrt{337}}{4}\]

\[h = \frac{-1 \pm \sqrt{337}}{2}\]

Итак, высота цилиндра может быть равна \(\frac{-1 + \sqrt{337}}{2}\) или \(\frac{-1 - \sqrt{337}}{2}\).

Таким образом, мы нашли два возможных значения высоты цилиндра. Чтобы найти площадь осевого перереза, можно использовать любое из этих значений высоты, так как она не зависит от радиуса основы.

Это пошаговое решение задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.