Запишите уравнение прямой, которая проходит через точку M0(7,8) и является перпендикулярной прямой 42x+3y+5=0

Tropik

58

Хорошо! Давайте решим эту задачу по шагам.

Для начала, нам нужно найти уравнение прямой, перпендикулярной данной прямой \(42x+3y+5=0\). Чтобы это сделать, мы поймем, что если у двух прямых произведение их коэффициентов наклона равно -1, то они являются перпендикулярными.

Уравнение данной прямой \(42x+3y+5=0\) можно записать в общем виде как \(Ax + By + C = 0\), где \(A = 42\), \(B = 3\) и \(C = 5\). Чтобы найти коэффициенты наклона прямой, мы можем использовать соотношение \(m = -\frac{A}{B}\).

Итак, для данной прямой \(42x+3y+5=0\), коэффициент наклона \(m_1\) будет равен:

\[m_1 = -\frac{A}{B} = -\frac{42}{3} = -14\]

Теперь, чтобы найти уравнение перпендикулярной прямой, мы должны использовать точку, через которую она проходит. В данном случае, у нас есть точка \(M_0(7,8)\).

Используя формулу \(y - y_0 = m(x - x_0)\), где \((x_0, y_0)\) - координаты точки, а \(m\) - коэффициент наклона, мы можем подставить значения \((7,8)\) и \(-14\):

\[y - 8 = -14(x - 7)\]

Теперь приведем это уравнение к общему виду, чтобы найти уравнение перпендикулярной прямой:

\[y - 8 = -14x + 98\]

\[y = -14x + 106\]

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку \(M_0(7,8)\) и перпендикулярной прямой \(42x+3y+5=0\) будет:

\[y = -14x + 106\]

Теперь мы должны найти длину отрезка, который отсекается найденной прямой. Для этого, мы можем использовать формулу расстояния от точки до прямой:

\[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\]

В нашем случае, \((x_0, y_0) = (7,8)\), \(A = 3\), \(B = -14\) и \(C = -106\). Подставим значения:

\[d = \frac{|(3 \cdot 7) + (-14 \cdot 8) - 106|}{\sqrt{3^2 + (-14)^2}}\]

\[d = \frac{|-79|}{\sqrt{9 + 196}} = \frac{79}{\sqrt{205}}\]

Таким образом, длина отрезка, который отсекается найденной перпендикулярной прямой, равна \(\frac{79}{\sqrt{205}}\).