Знайдіть значення x, при яких числа x + 1; 3x + 5; 9x + 19 є послідовними членами геометричної прогресії. Знайдіть

Ledyanoy_Serdce

53

Чтобы найти значения х, при которых числа x + 1, 3x + 5 и 9x + 19 являются последовательными членами геометрической прогрессии, нам нужно установить связь между ними.

Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый последующий элемент получается умножением предыдущего элемента на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии.

Предположим, что знаменатель прогрессии равен d. Тогда по определению геометрической прогрессии имеем следующее:

\[3x + 5 = (x + 1) \cdot d \quad (1)\]
\[9x + 19 = (3x + 5) \cdot d \quad (2)\]

Решим систему уравнений (1) и (2), чтобы найти значения х и d.

Из уравнения (1) мы можем получить выражение для d:

\[d = \frac{{3x + 5}}{{x + 1}} \quad (3)\]

Подставим это значение в уравнение (2) и решим его:

\[9x + 19 = (3x + 5) \cdot \frac{{3x + 5}}{{x + 1}}\]
\[9x + 19 = \frac{{(3x + 5)^2}}{{x + 1}}\]
\[9x + 19 = \frac{{9x^2 + 30x + 25}}{{x + 1}}\]
\[9x(x + 1) + 19(x + 1) = 9x^2 + 30x + 25\]
\[9x^2 + 9x + 19x + 19 = 9x^2 + 30x + 25\]
\[9x^2 + 28x + 19 = 9x^2 + 30x + 25\]
\[28x - 30x = 25 - 19 - 9x^2 + 9x^2\]
\[-2x = 6\]
\[x = -3\]

Таким образом, мы нашли значение x, при котором числа x + 1, 3x + 5 и 9x + 19 являются последовательными членами геометрической прогрессии. В данном случае, x = -3.

Чтобы найти значения этих чисел, подставим x = -3 в каждое уравнение:
\(x + 1 = -2\),
\(3x + 5 = -4\),
\(9x + 19 = -10\).

Таким образом, числа -2, -4 и -10 являются последовательными членами геометрической прогрессии при значении x = -3.