1. Как можно разложить вектор FE→ на a→, b→ и c→ в правильном тетраэдре, где на ребрах DA и CB определены точки E

Plamennyy_Demon

28

1. Чтобы разложить вектор \(\overrightarrow{FE}\) на \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{c}\) в правильном тетраэдре, где на ребрах \(\overline{DA}\) и \(\overline{CB}\) определены точки \(E\) и \(F\) соответственно, так что \(\frac{{DE}}{{EA}} = 1:4\) и \(\frac{{CF}}{{FB}} = 1:4\), следует применить метод распределения векторов (метод параллелограмма).

Для начала, обратимся к распределению векторов на трех составляющих осей в трехмерном пространстве. Обозначим вектор \(\overrightarrow{FE}\) через \(\overrightarrow{v}\), а направляющие векторы ребер \(\overline{DA}\) и \(\overline{CB}\) через \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) соответственно.

Таким образом, вектор \(\overrightarrow{v}\) может быть разложен на следующие составляющие векторы:
\(\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v_{\parallel a}} +\overrightarrow{v_{\parallel b}} +\overrightarrow{v_{\parallel c}}\).

Вектор \(\overrightarrow{v_{\parallel a}}\) параллелен вектору \(\overrightarrow{a}\), поэтому его направление и длина определяются формулой:
\(\overrightarrow{v_{\parallel a}} = \frac{{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{v}}}{{|\overrightarrow{a}|^2}} \cdot \overrightarrow{a}\).

Аналогично, вектор \(\overrightarrow{v_{\parallel b}}\) определяется формулой:
\(\overrightarrow{v_{\parallel b}} = \frac{{\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{v}}}{{|\overrightarrow{b}|^2}} \cdot \overrightarrow{b}\).

Вектор \(\overrightarrow{v_{\parallel c}}\) задан как разность между вектором \(\overrightarrow{v}\) и суммой векторов \(\overrightarrow{v_{\parallel a}}\) и \(\overrightarrow{v_{\parallel b}}\):
\(\overrightarrow{v_{\parallel c}} = \overrightarrow{v} - \overrightarrow{v_{\parallel a}} - \overrightarrow{v_{\parallel b}}\).

Теперь рассмотрим соотношения \(\frac{{DE}}{{EA}} = 1:4\) и \(\frac{{CF}}{{FB}} = 1:4\). Они позволяют определить отношения длин векторов \(\overrightarrow{DE}\) и \(\overrightarrow{CF}\) к соответствующим отрезкам ребер \(\overline{EA}\) и \(\overline{FB}\).

2. В общем случае, когда на ребрах \(\overline{DA}\) и \(\overline{CB}\) даны точки \(E\) и \(F\) соответственно, и соотношения \(\frac{{DE}}{{EA}} = 1:n\) и \(\frac{{CF}}{{FB}} = 1:n\), мы также можем использовать метод распределения векторов (метод параллелограмма). Формулы для вычисления составляющих векторов останутся такими же, но при этом отношение \(n\) будет использоваться вместо фиксированного значения 4 в предыдущем вопросе.

Таким образом, вектор \(\overrightarrow{v_{\parallel a}}\) будет определяться формулой:
\(\overrightarrow{v_{\parallel a}} = \frac{{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{v}}}{{|\overrightarrow{a}|^2}} \cdot \overrightarrow{a}\).

Вектор \(\overrightarrow{v_{\parallel b}}\) будет задан формулой:
\(\overrightarrow{v_{\parallel b}} = \frac{{\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{v}}}{{|\overrightarrow{b}|^2}} \cdot \overrightarrow{b}\).

А вектор \(\overrightarrow{v_{\parallel c}}\) будет определяться следующим образом:
\(\overrightarrow{v_{\parallel c}} = \overrightarrow{v} - \overrightarrow{v_{\parallel a}} - \overrightarrow{v_{\parallel b}}\).

Таким образом, в общем случае, вам следует использовать те же формулы для разложения вектора на составляющие, но учтите, что значение \(n\) будет определять соотношения длин векторов \(\overrightarrow{DE}\) и \(\overrightarrow{CF}\) к соответствующим отрезкам ребер.