18.6. Переформулируйте следующие неравенства: 1) Какое значение x удовлетворяет неравенству 5х2 – 7x — 6 > 0? 3) Когда

Skorostnoy_Molot

3

Давайте посмотрим на каждое из предложенных неравенств и найдем значения \(x\), при которых они выполняются.

1) Дано неравенство: \(5x^2 - 7x - 6 > 0\).

Для начала, попробуем найти корни уравнения \(5x^2 - 7x - 6 = 0\) методом факторизации или используя квадратное уравнение. Корни этого уравнения равны \(x_1 = -\frac{2}{5}\) и \(x_2 = 3\).

Теперь рассмотрим знаки выражения \(5x^2 - 7x - 6\) на интервалах между и за пределами корней:
- Если \(x < -\frac{2}{5}\), то \(5x^2\) будет положительным, и у нас есть вычитаемое выражение \(- 7x - 6\). Так как \(7x\) будет отрицательным, и \(6\) - положительным, то их сумма будет отрицательной. Следовательно, в этом случае \(5x^2 - 7x - 6\) будет отрицательным.
- Если \(-\frac{2}{5} < x < 3\), то \(5x^2\) будет положительным, и у нас есть отрицательное вычитаемое выражение \(- 7x - 6\). Так как и \(7x\), и \(6\) будут отрицательными, их сумма также будет отрицательной. Следовательно, в этом случае \(5x^2 - 7x - 6\) будет отрицательным.
- Если \(x > 3\), то и \(5x^2\), и \(- 7x - 6\) будут положительными. Их сумма также будет положительной. Следовательно, в этом случае \(5x^2 - 7x - 6\) будет положительным.

Теперь у нас есть информация о знаках выражения \(5x^2 - 7x - 6\) на разных интервалах. Чтобы неравенство \(5x^2 - 7x - 6 > 0\) выполнялось, нужно, чтобы выражение было положительным. Мы видим, что это верно когда \(x < -\frac{2}{5}\) или \(x > 3\).

Таким образом, значения \(x\), удовлетворяющие неравенству \(5x^2 - 7x - 6 > 0\), это все значения \(x\), которые меньше \(-\frac{2}{5}\) или больше \(3\).

2) Дано неравенство: \(3x^2 - 8x + 11 < 0\).

Мы можем попытаться найти корни уравнения \(3x^2 - 8x + 11 = 0\) посредством факторизации, однако в этом случае корни будут комплексными числами. Вместо этого, применим квадратное уравнение \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) для нахождения корней.

Применяя эту формулу, найдем корни уравнения \(3x^2 - 8x + 11 = 0\):
\[x_1 = \frac{8 + \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 11}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + \sqrt{-44}}{6}\]
\[x_2 = \frac{8 - \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 11}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - \sqrt{-44}}{6}\]

Корни этого уравнения комплексные числа, и поэтому их можно записать в виде
\[x_1 = \frac{8}{6} + \frac{\sqrt{-44}}{6} = \frac{4}{3} + \frac{2\sqrt{11}}{3}i\]
\[x_2 = \frac{8}{6} - \frac{\sqrt{-44}}{6} = \frac{4}{3} - \frac{2\sqrt{11}}{3}i\]

Теперь, чтобы решить неравенство \(3x^2 - 8x + 11 < 0\), можем воспользоваться методом графиков или методом интервалов. Оба метода позволяют нам определить значения \(x\), при которых это неравенство выполняется.

Анализируя график квадратного трехчлена \(3x^2 - 8x + 11\), мы видим, что это унимодальная парабола, направленная вверх. То есть, она отрицательна слева от корней и положительна между ними. Таким образом, неравенство \(3x^2 - 8x + 11 < 0\) выполняется для всех значений \(x\) между корнями параболы.

Таким образом, значения \(x\) удовлетворяющие неравенству \(3x^2 - 8x + 11 < 0\), это все значения \(x\) между \(\frac{4}{3} - \frac{2\sqrt{11}}{3}i\) и \(\frac{4}{3} + \frac{2\sqrt{11}}{3}i\).

3) Дано неравенство: \(-x^2 - 2x - 6 > 0\).

Если мы попытаемся факторизовать это неравенство, мы увидим, что это невозможно. Вместо этого, применим графический метод для определения значений \(x\), при которых неравенство выполняется.

График квадратного трехчлена \(-x^2 - 2x - 6\) - парабола, направленная вниз. Обратим внимание, что в данном случае лидирующий коэффициент отрицателен. Это означает, что парабола отрицательна выше своего вершины и положительна ниже нее.

Теперь найдем вершину параболы, используя формулу \(x = -\frac{b}{2a}\):
\[x = -\frac{-2}{2 \cdot -1} = \frac{1}{2}\]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \(x = \frac{1}{2}\).

Чтобы неравенство \(-x^2 - 2x - 6 > 0\) выполнялось, нужно, чтобы парабола была положительна. Из анализа графика мы видим, что это верно, когда \(x\) находится вне интервала \((-\infty, \frac{1}{2})\).

Таким образом, значения \(x\), удовлетворяющие неравенству \(-x^2 - 2x - 6 > 0\), это все значения \(x\), которые меньше \(\frac{1}{2}\).

4) Дано неравенство: \(-2x^2 - 9x + 11 < 0\).

Пробуем факторизовать это неравенство. Заметим, что оно неположительное при \(x = 1\).

\(-2x^2 - 9x + 11 = 0\)

Значит \((x - 1)(-2x - 11) = 0\)

Здесь два фактора, \(x - 1 = 0\) и \(-2x - 11 = 0\). Из первого фактора получаем \(x = 1\), а из второго - \(x = -\frac{11}{2}\).

Заметим, что лидирующий коэффициент \(-2\) отрицателен, значит парабола отрицательна слева и положительна справа от вершину.

Анализируя график параболы, мы видим, что она отрицательна между корнями \(-\frac{11}{2}\) и \(1\).

Таким образом, значения \(x\), удовлетворяющие неравенству \(-2x^2 - 9x + 11 < 0\), это все значения \(x\), которые между \(-\frac{11}{2}\) и \(1\).

5) Дано неравенство: \(5x^2 - 6 < 0\).

Для начала, попытаемся найти корни уравнения \(5x^2 - 6 = 0\) методом факторизации или квадратного уравнения. Однако в данном случае, это невозможно, так как уравнение не факторизуется.

Теперь, чтобы решить неравенство \(5x^2 - 6 < 0\), мы можем использовать метод интервалов.

Анализируя график функции \(5x^2 - 6\), мы видим, что это парабола, направленная вверх. Поскольку лидирующий коэффициент \(5\) положителен, парабола положительна выше своей вершины и отрицательна ниже нее.

Вершина параболы находится в точке \(x = 0\), так как это значение аргумента, при котором функция достигает своего минимального значения.

Таким образом, неравенство \(5x^2 - 6 < 0\) выполняется для всех значений \(x\), лежащих между корнями параболы.

Так как парабола расположена поверх оси \(x\), у нее нет вещественных корней. Следовательно, неравенство выполняется для всех значений \(x\).

6) Дано неравенство: \(x^2 - 7x + 6 > 0\).

Мы можем попытаться найти корни уравнения \(x^2 - 7x + 6 = 0\) посредством факторизации, однако в этом случае корни будут дробными числами. Вместо этого, применим квадратное уравнение \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) для нахождения корней.

Применяя эту формулу, найдем корни уравнения \(x^2 - 7x + 6 = 0\):
\[x_1 = \frac{7 + \sqrt{7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + \sqrt{13}}{2}\]
\[x_2 = \frac{7 - \sqrt{7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - \sqrt{13}}{2}\]

Теперь, чтобы решить неравенство \(x^2 - 7x + 6 > 0\), используем метод интервалов.

Анализируя график параболы \(x^2 - 7x + 6\), мы видим, что она положительна между корнями, так как в этом случае парабола направлена вверх.

Таким образом, значения \(x\), удовлетворяющие неравенству \(x^2 - 7x + 6 > 0\), это все значения \(x\), которые между \(\frac{7 - \sqrt{13}}{2}\) и \(\frac{7 + \sqrt{13}}{2}\).

7) Дано неравенство \(5x^2 - x + 6 < 0\).

Мы можем попытаться найти корни уравнения \(5x^2 - x + 6 = 0\) путем факторизации или применив квадратное уравнение. Однако, у этого уравнения нет вещественных корней.

Теперь воспользуемся графическим методом для определения значений \(x\), при которых выполняется неравенство.

Анализируя график функции \(5x^2 - x + 6\), мы видим, что это парабола, направленная вверх. Лидирующий коэффициент \(5\) положителен, поэтому парабола положительна выше своей вершины и отрицательна ниже нее.

Вершина параболы находится в точке \(x = \frac{1}{10}\), так как значение \(x\