Анализировать и решить задачу одномерной нелинейной оптимизации. Необходимо определить значения x, при которых функция

Ivanovna

16

Для решения данной задачи одномерной нелинейной оптимизации мы должны проанализировать функцию \(f(x)\) и определить значения \(x\), при которых она достигает минимума и максимума. Затем, мы должны также найти минимальное и максимальное значение самой функции.

Данная функция имеет две различные формулы в зависимости от значения \(x\):

Для \(x \leq 13\):
\[f(x) = -3x^2 + 3\]

Для \(x > 13\):
\[f(x) = 2x^2 - 20x - 3\]

Давайте начнем с определения значений \(x\), где функция \(f(x)\) достигает минимума и максимума в пределах от \(x = 2\) до \(x = 13\).

1. Определим точку минимума функции \(f(x)\) в интервале \(x \leq 13\):

Чтобы найти точку минимума, мы должны взять производную от функции \(f(x)\) и приравнять ее к нулю:

\[\frac{d}{dx}(-3x^2 + 3) = -6x\]

Теперь приравняем \( -6x \) к нулю и решим полученное уравнение:

\[-6x = 0\]
\[x = 0\]

Таким образом, точка \(x = 0\) является потенциальной точкой минимума для функции \(f(x)\) в интервале \(x \leq 13\).

2. Определим точку максимума функции \(f(x)\) в интервале \(x \leq 13\):

Чтобы найти точку максимума, мы должны проанализировать выпуклость функции. В данном случае, функция \(f(x)\) имеет коэффициент перед \(x^2\) равный \(-3\), что означает, что у нее будет направление вниз, и следовательно, не будет иметь точки максимума. Таким образом, у нас нет точки максимума для функции \(f(x)\) в интервале \(x \leq 13\).

3. Определим точку минимума функции \(f(x)\) в интервале \(x > 13\):

Теперь мы должны проанализировать функцию \(f(x)\) для значений \(x > 13\). Для этого, возьмем производную от функции \(f(x)\) и приравняем ее к нулю:

\[\frac{d}{dx}(2x^2 - 20x - 3) = 4x - 20\]

Теперь приравняем \(4x - 20\) к нулю и решим полученное уравнение:

\[4x - 20 = 0\]
\[4x = 20\]
\[x = 5\]

Таким образом, точка \(x = 5\) является потенциальной точкой минимума для функции \(f(x)\) в интервале \(x > 13\).

4. Определим точку максимума функции \(f(x)\) в интервале \(x > 13\):

Как и в предыдущем случае, у функции \(f(x)\) коэффициент перед \(x^2\) равен 2, что означает, что у нее будет направление вверх и, следовательно, не будет иметь точек максимума. Таким образом, у нас нет точки максимума для функции \(f(x)\) в интервале \(x > 13\).


Теперь, чтобы найти минимальное и максимальное значение функции \(f(x)\), нам просто нужно подставить найденные значения \(x\) в соответствующие формулы функции.

- Для \(x = 0\), значение функции \(f(x) = -3(0)^2 + 3 = 3\). Таким образом, минимальное значение функции \(f(x)\) в интервале \(x \leq 13\) равно 3.

- Для \(x = 5\), значение функции \(f(x) = 2(5)^2 - 20(5) - 3 = 2(25) - 100 - 3 = -50 - 3 = -53\). Таким образом, минимальное значение функции \(f(x)\) в интервале \(x > 13\) равно -53.

Теперь давайте найдем максимальное значение функции \(f(x)\). Мы уже поняли, что функция \(f(x)\) не имеет точек максимума ни для одного из интервалов \(x \leq 13\) и \(x > 13\). Это означает, что максимальное значение функции \(f(x)\) будет бесконечностью.

Таким образом, мы можем сделать следующие выводы:

- Значение \(x\), при котором функция \(f(x)\) достигает минимума в интервале \(x \leq 13\), равно 0. Минимальное значение функции \(f(x)\) в этом интервале равно 3.

- Значение \(x\), при котором функция \(f(x)\) достигает минимума в интервале \(x > 13\), равно 5. Минимальное значение функции \(f(x)\) в этом интервале равно -53.

- Функция \(f(x)\) не имеет точек максимума ни в одном из интервалов \(x \leq 13\) и \(x > 13\). Максимальное значение функции \(f(x)\) равно бесконечности.