Будь ласка, побудуйте графік функції y=x²-2x-3 і знаходьте за його допомогою наступні значення: 1) множину розв язків

Kroshka

29

Щоб побудувати графік функції \(y = x^2 - 2x - 3\), перш ніж розглядати значення, ми повинні знайти вершину графіка та точки перетину з віссю \(Ox\).

1) Знайдемо координати вершини графіка. Це можна зробити, використовуючи формулу для координат вершини квадратного пара\-боли \(x = -\frac{b}{2a}\).

У рівнянні \(y = x^2 - 2x - 3\) коефіцієнт \(a = 1\), коефіцієнт \(b = -2\). Підставляючи ці значення в формулу, ми отримуємо: \[x = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1.\] Щоб знайти значення \(y\) в цій точці, підставимо \(x = 1\) у рівняння функції: \[y = (1)^2 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4.\]

Отже, координати вершини - точка \(V(1, -4)\).

2) Знайдемо точки перетину графіка з віссю \(Ox\), тобто коли \(y = 0\). Підставимо \(y = 0\) у наше рівняння і розв"яжемо його відносно \(x\): \[x^2 - 2x - 3 = 0.\]

Цей квадратний рівняння можна розв"язати, використовуючи квадратне рівняння або факторизацію. Застосуємо квадратне рівняння: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.\] Підставимо значення коефіцієнтів \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -3\) і розв"яжемо рівняння.

\begin{align*} x &= \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} \\ &= \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \\ &= \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} \\ &= \frac{2 \pm 4}{2} \\ &= \frac{6}{2} = 3 \quad \text{або} \quad \frac{-2}{2} = -1. \end{align*}

Отже, точки перетину з віссю \(Ox\) - \(A(3, 0)\) і \(B(-1, 0)\).

Тепер, коли ми знаємо ці точки, можна побудувати графік функції \(y = x^2 - 2x - 3\):
\[
\begin{array}{c|c}
x & y \\
\hline
-3 & 12 \\
-2 & 3 \\
-1 & -4 \\
0 & -3 \\
1 & -4 \\
2 & -3 \\
3 & 0 \\
4 & 9 \\
\end{array}
\]

За допомогою графіка, давайте знайдемо розв"язки нерівності \(x^2 - 2x - 3 \geq 0\).
Зауважте, якщо графік функції розташований вище або рівний нуля на певному інтервалі, то ці значення \(x\) задовольняють цю нерівність.

Аналізуючи графік, ми бачимо, що функція \(y = x^2 - 2x - 3\) рівна або вище нуля в інтервалах \((- \infty, -1]\) та \([3, +\infty)\).

Отже, множина розв"язків нерівності \(x^2 - 2x - 3 \geq 0\) можна записати як \((-\infty, -1] \cup [3, +\infty)\).

Щоб знайти інтервал, на якому функція спадає, визначимо, в яких інтервалах значення функції \(y = x^2 - 2x - 3\) менше нуля.

Зауважте, що коефіцієнт \(a = 1 > 0\), тому, в цьому випадку, функція буде спадною на інтервалах між коренями рівняння \(x^2 - 2x - 3 = 0\), тобто між точками \(A(3, 0)\) і \(B(-1, 0)\).

Отже, інтервал, на якому функція \(y = x^2 - 2x - 3\) спадає, можна записати як \((-1, 3)\).

Домашнє завдання: Використовуючи графік функції, знайдіть інтервал, на якому функція зростає.