Чему равна производная функции? f(x)=√x/6-5x^2+x/6+14 ; x0=1

Timur

60

Хорошо, давайте посмотрим, как решить эту задачу. Нам нужно найти производную функции \(f(x) = \sqrt{\frac{x}{6} - 5x^2 + \frac{x}{6} + 14}\) при \(x_0 = 1\).

Для начала, чтобы найти производную, мы должны использовать правила дифференцирования. Давайте разобьем заданную функцию на отдельные части и найдем производные каждой части по отдельности.

Перед тем, как начнем, давайте посмотрим на структуру заданной функции, чтобы лучше понять, как ее продифференцировать. Возможно, нам будет полезно преобразовать функцию немного для более удобного дифференцирования.

Итак, заданная функция \(f(x) = \sqrt{\frac{x}{6} - 5x^2 + \frac{x}{6} + 14}\) может быть переписана следующим образом:

\[f(x) = \sqrt{\frac{2x}{6} - 5x^2 + 14}\]

В этой форме функция выглядит более простой и позволяет нам более легко продифференцировать ее.

Теперь мы готовы начать процесс дифференцирования.

Шаг 1: Продифференцируем отдельные части функции. Обратите внимание, что у нас есть функция вида \(\sqrt g(x)\), а также сумма и разность внутри корня. Для таких случаев мы можем использовать правило дифференцирования сложной функции (chain rule).

Давайте обозначим \(g(x) = \frac{2x}{6} - 5x^2 + 14\). Тогда наше выражение будет иметь вид:

\[f(x) = \sqrt{g(x)}\]

Шаг 2: Применим правило дифференцирования сложной функции.

Правило сложной функции гласит:

\[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{du}} \cdot \frac{{du}}{{dx}}\]

где \(y = \sqrt{u}\), и \(u = g(x)\).

Шаг 3: Продифференцируем \(u = g(x)\).

Для этого нам потребуется использовать правила дифференцирования для суммы, разности и произведения.

Давайте упростим \(g"(x)\):

\[g"(x) = \left(\frac{2x}{6} - 5x^2 + 14\right)"\]

Разделим это на три части и продифференцируем каждую отдельно:

\[g"(x) = \frac{2x}{6}" - (5x^2)" + 14"\]

Шаг 4: Продифференцируем каждую отдельную часть.

Начнем с продифференцирования \(\frac{2x}{6}"\). Здесь мы можем использовать правило дифференцирования для произведения константы и переменной.

\(\frac{d}{dx} \left(\frac{2x}{6}\right) = \frac{2}{6} \cdot \frac{d}{dx}(x)\)

Помните, что \(\frac{d}{dx}(x) = 1\), так как производная переменной по самой себе равна единице.

Получаем:

\(\frac{d}{dx} \left(\frac{2x}{6}\right) = \frac{2}{6} \cdot 1 = \frac{1}{3}\)

Теперь продифференцируем \((-5x^2)"\). Здесь мы можем использовать правило дифференцирования для произведения константы и функции.

\(\frac{d}{dx}(-5x^2) = -5 \cdot \frac{d}{dx}(x^2)\)

Правило дифференцирования функции \(x^n\) гласит:

\(\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}\)

Применим это:

\(\frac{d}{dx}(-5x^2) = -5 \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = -5 \cdot 2x^{2-1} = -10x\)

Наконец, продифференцируем \(14"\). Здесь мы производим константу, поэтому получим:

\(\frac{d}{dx}(14) = 0\)

Шаг 5: Собираем все вместе, используя правило дифференцирования сложной функции.

Теперь мы готовы объединить всё вместе в соответствии с правилом сложной функции.

\[f"(x) = \frac{1}{2 \sqrt{g(x)}} \cdot g"(x)\]

Шаг 6: Вычисляем \(g(x)\) в точке \(x_0 = 1\).

Подставляем значение \(x_0 = 1\) в \(g(x)\):

\[g(1) = \frac{2 \cdot 1}{6} - 5 \cdot 1^2 + 14 = \frac{2}{6} - 5 + 14 = -\frac{23}{3}\]

Шаг 7: Вычисляем \(g"(x)\) в точке \(x_0 = 1\).

Подставляем значение \(x_0 = 1\) в \(g"(x)\):

\[g"(1) = \frac{1}{3} - 10 \cdot 1 = \frac{1}{3} - 10 = -\frac{29}{3}\]

Шаг 8: Вычисляем \(f"(x_0)\) в точке \(x_0 = 1\), используя полученные значения.

Подставим значения \(g(1) = -\frac{23}{3}\) и \(g"(1) = -\frac{29}{3}\) в формулу для \(f"(x)\):

\[f"(1) = \frac{1}{2 \sqrt{-\frac{23}{3}}} \cdot \left(-\frac{29}{3}\right)\]

Теперь проведем необходимые вычисления:

\[\frac{1}{2 \sqrt{-\frac{23}{3}}} \cdot \left(-\frac{29}{3}\right) = \frac{1}{2 \cdot \frac{i \sqrt{69}}{3}} \cdot \left(-\frac{29}{3}\right)\]

\[\frac{1}{\frac{2i \sqrt{69}}{3}} \cdot \left(-\frac{29}{3}\right) = -\frac{29}{3} \cdot \frac{3}{2i \sqrt{69}}\]

\[-\frac{29}{2i \sqrt{69}}\]

Таким образом, производная функции в точке \(x_0 = 1\) равна \(-\frac{29}{2i \sqrt{69}}\).